Ротор магнитного поля.

Наряду с дивергенцией для векторного поля играет важную роль еще одна дифференциальная характеристика поля, называемая ротором или вихрем поля. Ротор характеризует интенсивность «завихрения» векторного поля в рассматриваемой точке.

Ротор векторного поля, допустим поля , обозначаемый как , определяется тремя составляющими, не лежащими в одной плоскости. Выберем некоторое направление, характеризуемое единичным вектором . В плоскости, перпендикулярной , ограничим площадь очень малым замкнутым контуром . Направление обхода контура связано с правилом правого винта.

Ротором называется вектор, проекция которого на направление определяется формулой

.

Используя, дифференциально-векторный оператор «набла» в математике получают выражение для вектора в следующем виде

.

Из определения ротора следует, что для малых контуров, ограничивающих площадь (физическую точку) справедливо выражение

,

а для большого контура, ограничивающего площадь справедлива формула Стокса

.

Так как есть скалярное произведение вектора и вектора площади , то формулу Стокса можно записать в следующем виде

.

Формула Стокса связывает циркуляцию векторного поля по контуру с потоком ротора поля через площадь поверхности, ограниченную этим контуром.

Обратимся теперь к теореме о циркуляции магнитного поля в токопроводящей среде и, сравнивая её с формулой Стокса получим, что а, следовательно

, или .

Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора . Видно, что ротор поля совпадает по направлению с вектором — плотностью тока в данной точке, а модуль равен .

В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому

.

Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в противном случае поле является соленоидальным. Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное.

Применение теоремы о циркуляции вектора Магнитное поле соленоида

Применяя теорему о циркуляции магнитного поля, рассчитаем индукцию магнитного поля , создаваемого током в соленоиде. Соленоид — это длинная цилиндрическая катушка с плотно намотанными витками. Магнитное поле такой катушки имеет вид, показанный на рисунке. Если длина катушки много больше ее диаметра, то линии магнитной индукции внутри катушки параллельны ее оси и поле там однородно всюду, за исключением концов катушки. Снаружи вблизи боковой поверхности катушки поле практически отсутствует.

Вычислим циркуляцию индукции по прямоугольному контуру . Сторона параллельна, а стороны и перпендикулярны линиям индукции внутри катушки. Вектор будет иметь отличную от нуля проекцию на направление контура только на участке , тогда циркуляция по контуру будет равна

,

где — длина участка . Полный ток охватываемый контуром интегрирования равен , где — число витков в соленоиде. Согласно теореме о циркуляции , откуда . Отношение есть число витков на единицу длины соленоида (плотность намотки), и обозначим его буквой . Тогда индукция магнитного поля внутри длинного соленоида, по обмотке которого пропускается ток рассчитывается по формуле

,

а напряженность магнитного поля по формуле

, так как в вакууме .