Основные понятия и теоремы теории вероятностей.

Достоверным называется событие, которое обязательно появится в результате испытания.

Невозможным называется событие, которое заведомо не появится в результате испытания.

Случайным называется событие, которое может проявиться или не появиться в результате испытания.

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов n, образующих полную группу:

. (4)

События называются несовместными, если появление одного их них исключает появление других событий в том же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Противоположные события. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными. Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные.

Полная группа событий. Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.

1. Вероятность достоверного события равна 1.

2.Если событие невозможное, то его вероятность равна 0.

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1,то есть 0 Р(А) 1.

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть .

Задача 1. В партии из 10 деталей имеется 6 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Какова вероятность того, что среди них: а) 3 детали стандартные; б) хотя бы одна деталь нестандартная.

Решение: Используем классическое определение вероятности (4).

Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 4 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 4 элементов: .

а) Определим число исходов благоприятствующих событию A (среди 4 извлеченных деталей 3 стандартные). Три стандартные детали можно извлечь из имеющихся 6 стандартных деталей способами; при этом остальные 4-3=1 – это нестандартная деталь, извлечь 1 нестандартную деталь из имеющихся 10-6=4 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно . Искомая вероятность равна:

.

б) Событие В - хотя бы одна деталь из 4 извлеченных нестандартная. Противоположное ему событие - ни одной нестандартной детали среди извлеченных 4 деталей. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. . Тогда вероятность события В равна

.

Найдем . Определим число исходов благоприятствующих событию . Т.к. все извлеченные детали стандартные, то число благоприятствующих исходов равно . Тогда:

;

.

Задача 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и набрал их наудачу. Какова вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение: Обозначим через А событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных вариантов из двух различных цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр (от 0 до 9) по две, т.е. ; плюс десять вариантов с повторяющимися цифрами (00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 и 99). Таким образом, общее число всех возможных элементарных исходов n=90+10=100. Эти исходы несовместны, равновозможные и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь m=1 исход – правильно набранные две цифры. Вероятность события А вычислим по формуле (4):

.