2. Основні види математичних пропозицій

Математичне судження прийнято називати пропозицією.  Наприклад: "S є P" - S - логічне підмет або суб'єкт думки (те, про що йде мова у реченні); Р - логічний присудок або предикат думки. Судження часто даються в умовній формі: "якщо є А, то є і В".  Розкрити логічну структуру складеного пропозиції, - значить, показати, з яких елементарних пропозицій сконструйовано дане складене пропозицію і як воно складено з них, тобто за допомогою яких й у якому порядку застосовуються логічних зв'язок "не", "і", "або", "якщо ..., то ...", "тоді, і тільки тоді", "для всякого", "існує", що позначають логічні операції , за допомогою яких з одних пропозицій утворюються інші. Наприклад:  Елементарні пропозиції:  дан DАВС; (x) АВ = ВС; (y) АТ = ДС; (z) ВД   ДС.  Складові пропозиції:  1. Якщо АВ = ВС і АД = ДС, то ВД   ДС - істинне.  2. Якщо АВ = НД, те АД = ДС і ВД   ДС - ложное.А  3. Якщо ДВ = ВС і ВД не перпендикулярно АС,  то АТ   ДС - істинне.  Логічні структури для 1. і 3. виглядають так: 1) Якщо x та y, то z. 3) Якщо x і не z, то не y.  Наприклад:  1. Якщо число ціле і позитивне, то воно натуральне;  2. Якщо число ціле і не натуральне, то воно не позитивне.  Аксіома - пропозиція, прийняте без доказу. Певне число аксіом утворює систему вихідних положень деякої наукової теорії, що лежить в основі доказів інших положень (теорем) цієї теорії, в межах якої кожна аксіома приймається без доведення.  Постулат - це пропозиція, в якому висловлюється деякий вимога (умова), якій має задовольняти деяке поняття або деяке відношення між поняттями.  Наприклад, поняття а | | b визначається двома постулатами:  1. (A   )   (B   );  2. (A = b)   (A   b = 0).  Теорема - математичне пропозицію, істинність якого встановлюється за допомогою докази (міркування), логічного слідства інших пропозицій, прийнятих за достовірні.  Можна відзначити два підходи до розуміння теореми:  А.В. Погорєлов (геометрія "7-11") "Правильність твердження про властивості тієї чи іншої геометричної фігури встановлював шляхом міркування. Це міркування називається доказом. А саме твердження, яке доводиться, називається теоремою. ... Формулювання теореми зазвичай складається з двох частин. В одній частині йдеться про те, що дано. Це частина називається умовою теореми. В іншій частині йдеться про те, що повинно бути доведено. Ця частина називається висновком теореми ".  Структура теореми, передбачувана В.П. Болтянською: а) роз'яснювальна частина; б) умова; в) укладення.  Наприклад, "якщо сума цифр числа n ділиться на 3, то саме число n ділиться на 3".  Умова: сума цифр числа n ділиться на 3  Висновок: саме число ділиться на 3.  Роз'яснювальна частина: n - будь-яке натуральне число.  Використовуючи логічну символіку, теорема представляється так:   - Імплікація (якщо ..., то ...).  Маючи пряму теорему (   ), Можна утворити нові теореми:  1.   - Зворотна;  2.   - Протилежна;  3.   -Зворотна протилежної чи контрапозітівная.  Ці теореми мають наступні властивості:  а) (   ) І (   ) - Одночасно істинними чи хибні;  б) (   ) І (   ) - Одночасно істинні або помилкові.  Висловлення p називається необхідною умовою для q, якщо імплікація (   ) Є справжнє слідство. Наприклад, щоб число ділилося на 6, необхідно (не недостатньо), щоб воно було парним.  p - парне число, q - число кратно 6. Þ (   ) - В.  Висловлення p називається достатньою умовою для q, якщо імплікація (   ) Є справжнє слідство. Наприклад, щоб число було кратне 5, достатньо, щоб воно було кратно 25. (Р: кратно 25; q: кратно 5) Þ (pÞq)  Зауваження: Для визначення необхідно умова слід підібрати контр приклад, спростування цього твердження.  Умова р називається необхідним і достатнім для q, якщо істини одночасно обидві імплікації: (pÞq) і (qÞp), тобто має місце еквівалентність.  Характеристичне властивість найбільш повно визначає об'єкт, виділяючи його з деякого безлічі подібних об'єктів, дозволяє його сконструювати.  Наприклад, характеристичне властивість арифметичної прогресії:  починаючи з другого члена, всі члени прогресії задовольняють властивості:   - Бути середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів (або відстояти від нього на рівних відстанях)  Приклад необхідного і достатнього умови: