Связь обобщенного напряжения с обобщенной деформацией

Механические свойства большинства металлов и сплавов характеризуются кривыми упрочнения, не имеющими ярко выраженной площадки текучести. Такие кривые аппроксимируются степенной функцией. В самом общем виде связь напряжений и деформаций имеет вид:

,

где - интенсивность напряжений и интенсивность деформаций;

- сопротивление деформации (предел текучести) и соответствующая ему деформация (предел упругой деформации;

n – численный коэффиицент, определяемый из опыта, ;

- коэффициент, определяющий направление выпуклости графика. Для большинства поликристаллических металлов .

В озможны следующие случаи:

1. . Случай пластической деформации с упрочнением, т.е. с увеличением величины деформации сопротивление деформации материала (а значит и требуемое напряжение) возрастает.

2. . .

Случай идеальной упругости материала

3. . .

Случай идеальной пластичности материала

Зависимость напряжения от деформации для реального процесса может иметь один из указанных видов или иметь промежуточный (аппроксимированный) вид.

Плоское напряженное и плоское деформированное состояние

При плоском напряженном состоянии напряжение по одной из осей отсутствует. Деформация при этом может происходить по всем трем осям. В других случаях пренебрегают деформацией по одной из осей при действии напряжений по всем трем осям. В этом случае мы имеем дело с плоским деформированным состоянием. Например, такое состояние мы имеем при прокатке широких тонких полос, когда уширение пренебрежимо мало по сравнению с обжатием и вытяжкой. Другими словами, плоское напряженное и плоское деформированное состояние не обязательно совпадают. В случае плоских состояний все расчеты значительно упрощаются.

1) Плоское напряженное состояние

Признаком плоского напряженного состояния является: равенство нулю одного из нормальных напряжений и равенство нулю соответствующих ему касательных напряжений. Пусть , тогда касательные напряжения с индексами, содержащими y, тоже равны нулю: .

Тогда

или

или в главных напряжениях

Касательные напряжения:

или в главных напряжениях , т.е. касательное напряжение достигает максимума при , т.е. при , т.е.

При тензор напряжений имеет вид: или в главных осях

При тензор напряжений имеет вид: или в главных осях

При тензор напряжений имеет вид: или в главных осях

Из тензора видно, что при .

и определяются в этом случае из уравнения:

, при этом знак ‘+’ относится к , а знак ‘-‘ к .

Девиатор напряжений в случае плоского напряженного состояния имеет вид:

, т.е. схема тензора напряжений плоская, а девиатора – объемная, и становится плоской только если , т.е. если _.

Уравнения равновесия в случае плоской задачи примут вид:

2) Плоское деформированное состояние

Признаком плоского деформированного состояния является отсутствие деформаций по одной из осей, например по оси X: . Тензор деформаций в этом случае будет иметь вид:

или в главных осях . Для остальных осей – аналогично.

Тогда из соотношений напряжений и деформаций имеем:

, т.е.

признаком плоского деформированного состояния также является

Т.к. – главное напряжение, а значит .

Тензор напряжений для данного случая плоской деформации

или в главных осях ,

Девиатор напряжений в случае плоского деформированного состояния имеет вид:

, т.е. схема тензора напряжений объемная, а девиатора – плоская.

Условия равновесия и зависимости деформаций от напряжений одинаковы и для плоского напряженного, и для плоского деформированного состояния. Главные напряжения и для плоского деформированного состояния определяются по тем же формулам, что и для плоского напряженного состояния, а .