7. Структурні середні величини
Середні арифметична і гармонічна є узагальнюючими характеристиками сукупностей за тією чи іншою варіаційною ознакою. Водночас структуру цих сукупностей характеризують особливими показниками, які називають у статистиці структурними або порядковими середніми величинами. Зокрема, це мода і медіана. Мода (Мо) — це та варіанта, яка найчастіше повторюється в даній сукупності. Моду широко використовують у комерційній діяльності і в соціологічних дослідженнях, коли вивчають ринковий попит, реєструють рівень цін, встановлюють рейтинг популярності осіб чи товарів тощо.
Медіаною (Me) в статистиці називають варіанту, що є серединою впорядкованого варіаційного ряду розподілу, тобто ділить його на дві рівні частини: одна частина має значення варіюючої ознаки менше ніж середня, а друга — більше.
Мода і медіана, на відміну від степеневих середніх, є конкретними характеристиками варіаційного ряду, мають певні значення, і тому їх ще називають описовими характеристиками. Описові характеристики завжди відповідають певній варіанті. Мода і медіана не є типовими характеристиками для дослідження однорідних сукупностей з великою чисельністю одиниць.
Знайти моду і медіану в дискретному ряді розподілу не становить труднощів, оскільки варіанти відповідають конкретним значенням ознаки (певним числам).
За цими даними найбільшим попитом у покупців користуються чоловічі костюми 50-го розміру, тобто Мо = 50, оскільки ця варіанта має найбільшу частоту — 91 покупець придбав костюми цього розміру.
Інколи трапляються ряди розподілу, в яких не один, а дві варіанти однаково модальні, тобто мають найбільші частоти. Це означає, що є дві моди — розподіл бімодальний. Такі розподіли вказують на якісну неоднорідність сукупності за досліджуваною
ознакою.
Медіану у дискретному ряді розподілу визначають за номером медіани, який визначається за формулою:
У наведеному вище прикладі кількість покупців костюмів становить 189 чоловік, тоді номер медіани становить (189 + 1) : 2 = 95, тобто варіанта за номером 95 ділить упорядкований ряд на дві однакові частини.
Яке ж значення варіанти знаходиться під номером 95? Для того, щоб знайти відповідь на це питання, слід нагромадити частоти, розпочинаючи з мінімального значення варіанти. У статистиці це називається акумуляцією частот. Нагромаджена сума частот першої, другої та третьої варіант становить 2+8+20 = ЗО, а в прикладі медіанним є 95-а варіанта, тобто та, яка знаходиться у наступній групі, де частота становить 91, а нагромаджені частоти перевищують номер медіани 30+91=121, отже медіаною є 50-й розмір (Me = 50).
В тому випадкуі, коли сума частот є парне число, і номер медіани відповідно є дробовим числом, то медіана лежить у середині сусідніх варіантів.
Отже, у дискретному варіаційному ряді дуже просто знаходити моду і медіану. В інтервальному ряді розподілу для набли-
Для знаходження модальної величини, що міститься в певному інтервалі, формула має такий вигляд:
Наприклад, розглянемо результати вибіркового обстеження робітників одного із цехів заводу за стажем роботи (табл. 5.5).
Це означає, що такий стаж є найбільш поширеним, типовим для
робітників цеху.
Медіана в інтервальному ряді розподілу визначається за формулою:
Медіана не залежить ні від амплітуди коливань ряду, ні від розподілення частот у межах двох рівних частин ряду. її обчислюють для вирішення окремих завдань, пов'язаних із визначенням оптимуму, який співпадає з варіантою, що припадає на середину ряду.
Для обчислення медіани спочатку в інтервальному ряді розподілу визначають медіанний інтервал. Він відповідає такому, кумулятивна частота якого дорівнює чи перевищує номер медіани.
У нашому прикладі номер медіани дорівнює: (800+1) : 2 = 400,5. Отже, медіана знаходиться в інтервалі від 9 до 12 років. Підставивши у формулу дані таблиці 5.5., обчислимо медіану:
Модальний інтервал становить від 6 до 9 років, бо відповідна йому частота є максимальною fM0 = 230.
Підставивши дані, обчислимо моду:
Величина моди і медіани, як правило, відрізняється від ве-ііичини середньої і співпадає з нею тільки у випадку симетрії ікіріаційного ряду. Це пояснюється тим, що на величину моди і медіани не впливають значення варіант, не характерних для даної сукупності, скажімо, надмірно малі чи надмірно великі. При обчисленні середньої арифметичної до уваги беруться усі без винятку варіанти. Саме через це мода і медіана в окремих випадках ма-
ють свої переваги перед середньою арифметичною і використовуються при вирішенні деяких практичних завдань. Так, при плануванні обсягу виробництва, наприклад, швейної фабрики, орієнтуються не на середній розмір костюмів, а на найбільш "ходовий", тобто модальний. При виборі місця розташування заготівельного пункту зерна в тому чи іншому районі лише медіана визначить "точку", що дає найменшу відстань від всіх сільськогосподарських підприємств, які мають здавати зерно саме в цей пункт.