Поверхности второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности S.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).

Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр: Параболический цилиндр: Гиперболический цилиндр:

Пара совпавших прямых: Пара совпавших плоскостей: Пара пересекающихся плоскостей

Гиперболический параболоид. Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Уравнение гиперболического параболоида:

При сечении гиперболического параболоида плоскостью z = z0 поверхность порождает гиперболу. При сечении гиперболического параболоида плоскостью x = x0 или y = y0 поверхность порождает параболу.

............. Начало матем анализа. производная и ее приложение

Множества

Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке Георга Кантора:

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект считается множеством.

понятие функции

Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому элементу x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Теоретико-множественное определение: функция или отображе́ние — это кортеж множеств F = (f,X,Y), обладающий следующими свойствами:

(декартово произведение X и Y);

Определение через отображение : функция — это отображение, в котором каждому элементу области отправления соответствует единственный элемент области определения.

предел функции в точке,непрерывность

Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E ® R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

Непрерывность некоторых элементарных функций:

1. Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.

2. Рациональная функция непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.

Докажем свойство 3 для функции y = sinx.

Запишем приращение функции Dy = sin(x + Dx) – sinx, или после преобразования:

Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция Dу – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.

производная и дифференциал функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и - произвольная точка из этой окрестности. Тогда если выражение имеет предел при то этот предел называется производной функции в точке (обозначается

таблица производных

Производные простых функций

определены,

правило Лопиталя-Бернулли

Правило Лопита́ля - метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка:

1)

2) Если g(x) и f(x) — дифференцируемы в проколотой окрестности a;

3) в проколотой окрестности a;

4) существует , тогда существует

............. неопределенный интеграл

понятие интерграла

Интеграл функции — естественный аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определённый) интеграл является площадью подграфика функции.

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной к дифференцированию.

Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым является интеграл Римана.

Первообразная

Первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F(x) = x3 / 3 является первообразной f(x) = x2. Так как производная константы равна нулю, x2 будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x3 / 3 + 45645 или x3 / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x2 можно обозначить как F(x) = x3 / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

таблица основных неопределенных интегралов:

основные методы и приемы интегрирования:

Простейшие задачи, в которых нужно проинтегрировать элементарные функции, решаются при помощи таблицы первообразных. В более сложных случаях нужно знать ряд приемов, сводящих в конечном итоге вычисляемый интеграл к интегралам от табличных функций. Одним из таких приемов является метод замены переменного .

Пусть определены дифференцируемые функции f ( x ) и g ( t ), а также сложная функция g ( f ( x )). Пусть Тогда Это означает, что

.............определенный интеграл.несобственные интегралы

понятие определенного интеграла и его геометрический смысл

Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : при Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

Sступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками Pi , i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. Sступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между Sступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е.

формула Ньютона-Лейбница

Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл который называется интегралом с переменным верхним пределом.

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

несобственные интегралы первого и второго родов

Несобственные интегралы 1 рода.

Введем определения для несобственных интегралов 1 рода.

Определение 1.

Если предел конечен, то несобственный интеграл 1 рода называется сходящимся;

Если предел бесконечен или не существует вовсе, то несобственный интеграл 1 рода называется расходящимся.

Свойства несобственных интегралов.

А) Признак сравнения несобственных интегралов 1 рода. Если 0 меньше (или равен) f(x) меньше (или равна) g(x) на промежутке [0;+ бесконечности], то:

Из сходимости следует сходимость

Из расходимости следует расходимость

Теорема очевидна из геометрического смысла.

Б) Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла 1 рода.

Если несобственный интеграл 1 рода сходится, то тоже сходится.

Следует из первого свойства. Свойства несобственных интегралов 2 рода те же, что и для несобственных интегралов 1 рода.

............. функции нескольких переменных

функции двух переменных

Приращение функции

Функция, дифференцируемая в точке

при

В этом случае дифференциал функции в точке

- частные производные, вычисленные в точке

производные и дифференциалы функции нескольких переменных:

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

касательная плоскость и нормаль к поверхности:

Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности, → n— фиксированный вектор.

Обозначим j = j(M) — угол между векторами AB и → n

Ненулевой вектор → n называется нормальным вектором к поверхности в точке A, если

Точка поверхности F(x,y,z) = 0 называется обыкновенной, если в этой точке

частные производные F'x , F'y , F'z непрерывны;

(F'x)2 + (F'y)2 + (F'z)2 ≠ 0 . При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности.

экстремум функции двух переменных:

Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D. Точка M0(x0;y0) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек

то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.

А если же для всех точек то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

............. дифференциальные уравнения

общие сведения о дифференциальных уравнениях

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке.Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

(все три переменные x, y, F - действительны).

дифференциальные уравнения первого порядка и их интегрирование:

Уравнение в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая:

дифференциальные уравнения высших порядков:

Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Нахождение решения уравнения удовлетворяющего начальным условиям называется решением задачи Коши.

Теорема Коши:

Если функция (n-1) –й переменных вида в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по то какова бы не была точка в этой области, существует единственное решение уравнения определенного в некотором интервале, содержащем точку х0, удовлетворяющее начальным условиям

.............двойные и тройные интегралы

двойной интегралл

Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.

Обозначение двойного интеграла:

определение двойного интеграла и егогеометрический смысл:

Для того, чтобы понять, что же представляет из себя двойной интеграл с геометрической точки зрения, давайте посмотрим на рисунок ниже.

Итак, пусть в пространстве мы имеем некоторое тело (криволинейный цилиндр [в отличие от криволинейной трапеции в определенном интеграле]), ограниченное сверху поверхностью f(x,y), по бокам - некоторой цилиндрической поверхностью (образующие которой параллельны оси OZ), а снизу плоскостью X0Y.

Не углубляясь особо в теорию, возьмем из нее главное: Геометрический смысл двойного интеграла: при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).

вычесление двойного интеграла в декартовых координатах:

Область D называется правильной в направлении оси OY (ОХ), если любая прямая, параллельная оси OY(OX) и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает ее границу в двух точках.

Граница области D, правильной в направлении оси OY (рис. 23.3), может быть задана уравнениями

и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле причем сначала вычисляется внутренний интеграл

Граница области D, правильной в направлении оси ОХ (рис. 23.4), может быть задана уравнениями:

замена переменных в двойном интеграле:

http://matclub.ru/lec17/lec10.htm

Вывод формулы замены переменных в двойном интеграле. Рассмотрим двойной интеграл от функции непрерывной в замкнутой области , ограниченной кусочно-гладким контуром. Предположим, что формулы

задают взаимно однозначное отображение замкнутой области плоскости UOV на замкнутую область плоскости XOY, причем это отображение удовлетворяет всем условиям, указанным в начале параграфа.

приложение двойного интеграла:

Площадь плоской фигуры

Объем цилиндроида

Площадь поверхности:

1. Заданной уравнением z = f(x, y):

2. Заданной параметрически (x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)):

где либо где

Масса плоской фигуры

Статические моменты относительно координатных осей

тройной интеграл:

При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.

Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

Пример. Вычислить интеграл