30 Примеры вычисления интегралов с помощью вычетов
Пример
(Рисунок
45). Особые точки:
Внутри круга оказываются только две
точки:
и
П
оэтому
.
Представляют интерес некоторые методы,
позволяющие вычислять с помощью вычетов
интегралы от функций действительной
переменной. Рассмотрим один из них,
касающийся несобственных интегралов.
П
усть
требуется вычислить интеграл
,
где
f
функция, аналитическая, например, в
замкнутой верхней (или нижней)
полуплоскости, за исключением конечного
числа особых точек
,не
лежащих на оси
.
Рассмотрим полукруг, ограниченный
полуокружностью
,
лежащей
в верхней полуплоскости и отрезком
оси
,
причем
выберем
так, чтобы все особые точки оказались,
внутри полукруга (Рисунок 46.). Тогда по
основной теореме о вычетах имеем
т.е.
Так
как
можно неограниченно увеличивать, то
можно перейти к пределу при
.
При этом мы дополнительно предположим,
что при
функция
бесконечно малая более высокого порядка,
чем
,т.е.
при
но
Поэтому
т.е.
Существование конечного предела правой части равенства свидетельствует о наличии такого же предела у левой части, т.е. о сходимости несобственного интеграла. В пределе получаем формулу
и теорему:
Теорема Если функция аналитическая в замкнутой верхней полуплоскости, за исключение конечного числа особых точек, не лежащих на оси , и при есть бесконечно малая более высокого порядка, чем то верна формула .
Пример
Вычислим
Особые
точки находим из уравнения
,
где
.
Из четырех значений корня берем только
те, которые принадлежат верхней
полуплоскости:
и
.
Они являются простыми полюсами, поэтому
Ответ, естественно, должен быть действительным (даже положительным) числом.
Читателя, желающего более глубоко ознакомиться с курсом, отсылаем к книге А.И. Маркушевича "Краткий курс теории аналитических функций", М., 1957, содержащую в конце список рекомендуемой литературы.
1 Следует усвоить не готовые формулы, а метод их получения.
