Шаг 2. Математическая форма сигнала

Инженеры и исследователи для описания сигналов и их спектров используют относительно несложную математику. Сложный сигнал записывается как сумма более простых, что показано на рисунке: Каждая гармоника, как уже оговаривалось, представляет собой простейшее колебание, описываемое математической функцией синус. Коэффициент перед синусом называется «амплитудой», а аргумент — «фазой». Фаза есть сумма двух чисел. Первое слагаемое — произведение времени на круговую частоту, а второе слагаемое — начальная фаза. Гармоники рассматриваемого сложного сигнала имеют нулевую начальную фазу, это было подобрано для наглядности. Чтобы не спутать обычную фазу с начальной, её называют «полной фазой». Пояснения по терминам «фаза», «начальная фаза», «амплитуда», «циклическая (круговая) частота» и «функция» можно найти в учебниках по математике. Отмечу лишь, что когда встречается слово «фаза» в литературе, то под этим обычно понимают некоторое состояние, т.е. «фаза»=«состояние». В нашем случае, полная фаза сигнала-гармоники описывает некоторое состояние функции в данный момент времени. Другими словами, зная закон изменения гармоники (синус) и её текущее состояние (полную фазу) можно узнать какое сейчас значение у гармоники. Вести записи с синусами бывает не всегда удобно. В инженерной практике обычно переходят к форме записи в вид экспонент. В этом есть некоторые плюсы. Подробнее можно посмотреть в литературе. Надо отметить, что при записи в виде экспоненты используются комплексные числа. Теория этих чисел неразрывно связана с понятием мнимой единицы. Наглядно экспоненциальную форму можно изобразить в виде вращающегося вектора, как показано на картинке выше. Вращается он с циклической частотой в плоскости, где по одной оси отложены действительные числа, а по другой мнимые. Обо всем этом также можно подробнее прочесть в математической и инженерной литературе.

Шаг 3. Преобразование Фурье

В математике существует очень важное преобразование, которое связывает сигнал и его спектр. Оно называется преобразованием Фурье. Для ясности, можно взглянуть на картинку. В преобразование Фурье есть 2 формулы: на картинке они обведены фломастером. Прямое преобразование конвертирует сигнал в спектр, а обратное — спектр в сигнал. В формулы нужно подставлять функции, описывающие или спектр или сигнал, в зависимости от типа конвертирования. О том, почему формулы имеют именно такую форму можно опять-таки прочесть в книжках по математике. Там же можно уяснить, когда можно применять преобразование Фурье, а когда нельзя. И что делать, если нельзя применять, а спектр получить надо. Для большинства реально существующих сигналов преобразование Фурье справедливо, остальные же случаи рассматривать не будем. После прямого преобразования сигнала, изображённого на картинке в виде затухающей экспоненты, получим его спектр. В общем случае любой спектр — это комплексное число. Выше упоминалось о числах и о форме записи сигналов в виде экспонент. В такой форме фигурируют два параметра сигнала: амплитуда и начальная фаза. Если сигнал сложный, то он состоит из нескольких гармоник, каждая гармоника имеет свою амплитуда и свою фазу. Учесть математически это просто. В экспоненциальной записи сигнала вместо обычных чисел амплитуды и начальной фазы записывают функции амплитуды от частоты и начальной фазы от частоты. Такие зависимости даёт прямое преобразование Фурье на выходе. В результате выделяют амплитудный спектр и фазовый спектр сигнала. На картинке выше изображены эти спектры. Они состоят из большого количества гармоник, поэтому рисовать их не наглядно. Обычно изображают только огибающие. Сложные сигналы раскладывать можно не только на синусы или косинусы или, кстати, если вы заметили, экспоненты. Существуют и другие классы «элементарных» функций, в виде суммы которых можно представить сигнал. Все эти функции внутри класса обладают общим свойством — «ортогональностью». Или другими словами — перпендикулярностью. Таким образом, если взять две ортогональные функции и представить, что они не функции, а векторы, то между ними будет угол в 90 градусов. Если перемножить две эти функции, то получится нуль. Это не просто нуль, за этим нулём имеется определённый смысл: взаимная энергия между ортогональными сигналами равна нулю, т.е. они не взаимодействуют друг с другом.