Задача 3

На некотором направлении пароходство должно перевезти четыре груза в количествах, нижние пределы которых указаны в таблице 4. Для осуществления этих перевозок выделено два судна. Исходя из условий наилучшего использования грузоподъемности и грузовместимости и учитывая требования совместимости и грузовой специализации, каждое из выделенных судов может принять одновременно определенное количество каждого груза, указанное в таблице. Там же указаны эксплуатационные расходы выделенных судов (за рейс).

Требуется составить план, обеспечивающий перевозку предъявленных грузов с наименьшими расходами.

Таблица 4. Исходные данные

Груз	Количество груза, которое надо перевезти (не менее), т.	Количество груза, перевозимое за 1 рейс, т.
		на судне I	на судне II
А	30000	4000	3000
Б	12000	2000	3000
В	8000	-	5000
Г	8000	3000	-
Эксплуатационные расходы		20000	21000

Указание: Если мы будем планировать для судна I x₁ рейсов, а для судна II x₂ рейсов, то понесем суммарные расходы (в руб.)

Z=20000x₁ + 21000x₂

Это – целевая функция, которую надо минимизировать.

При планируемом числе рейсов удастся перевезти (4000 x₁ + 3000 x₂) т. груза А, (2000 x₁ + 3000 x₂) т. груза Б, (0 x₁ + 4000 x₂) т. груза В и (3000 x₁ + 0 x₂) т. груза Г. Имея в виду указанные в таблице нижние пределы заданного объема перевозок по каждому ограничению, получаем неравенства ограничений:

4000 x₁ + 3000 x₂≥30000

2000 x₁ + 3000 x₂≥12000

4000 x₂≥4000

3000 x₁≥4000

По этим неравенствам следует строить область ограничений.

Задача 4

За время Т=3 ед. (например, 3 мес.) необходимо перевезти на линии 1 – 18000т., а на линии 2 – 48000 т. грузов. Для этих перевозок можно использовать суда двух типов, для которых известны провозные способности и эксплуатационные расходы, указанные в таблице.

Требуется составить план работы судов, обеспечивающий выполнение заданного объема перевозок а указанное время с минимальными эксплуатационными расходами.

Таблица 5. Исходные данные

Тип судна	Провозные способности судов в единицу времени на линии 1, тыс. Т.		Эксплуатационные расходы судов за единицу времени, тыс. Руб.
	на линии 1	на линии 2	на линии 1	на линии 2
I	3	16	10	15
II	9	30	24	30

Указание: В качестве параметров управления выберем время, назначенное судну каждого типа для работы на каждой из линий, так что намечаемый план работы судов будет состоять из следующих величин:

x₁₁ – время работы судов I типа на линии 1;

x₁₂ – время работы судов I типа на линии 2;

x₂₁ – время работы судов II типа на линии 1;

x₂₂ – время работы судов II типа на линии 2.

При таком плане эксплуатационные расходы составят сумму (в тыс. руб.):

Z=10 x₁₁ + 15 x₁₂ + 24 x₂₁ + 30 x₂₂,

которая составляет целевую функцию, ее надо минимизировать.

Ограничения задачи запишутся в виде следующих соотношений:

x₁₁ + x₁₂≤3

x₂₁ + x₂₂ ≤3

3 x₁₁ + 9x₂₁ =18

16 x₁₂ + 30x₂₂ =48,

где первые два выражают требование выполнить перевозки в заданное время, а последние два выражают требование выполнить заданный объем перевозок на каждой линии.

К этим ограничениям добавляется требование неотрицательности параметров управления:

x₁₁ ≥ 0; x₁₂ ≥ 0; x₂₁ ≥ 0; x₂₂ ≥ 0.

Полученная задача линейного программирования имеет четыре параметра управления, и для того, чтобы ее можно было представить на плоскости, надо свести ее к задаче с двумя переменными. Это можно сделать, выразив, например, из двух последних ограничений – равенств переменные x₂₁ и x₂₂ через переменные x₁₁ и x₁₂. Тогда после простейших вычислений получим задачу:

Z= 2 x₁₁ - x₁₂ +96→ min

x₁₁ + x₁₂≤3

5 x₁₁ + 8 x₁₂ ≥ 9

x₁₁≤6

x₁₂ ≤3

x₁₁≥0; x₁₂ ≥ 0.