2.5. Проверка гипотезы о принадлежности опытных данных закону Пуассона

Закон Пуассона находит широкое применение при реше­нии большого класса задач в теории массового обслуживания. Так поток автомобилей, прибывающих в пункты погрузки - разгрузки и станции технического обслуживания, поток покупателей, число вызовов на телефонной станции и другие явления хорошо описываются законом Пуассона.

Вероятность появления числа событий X = 0,1,2,3... в законе Пуассона определяется по формуле

(2.13)

где X - число событий, появляющихся за данный отрезок времени;

t - отрезок времени;

λ - плотность или интенсивность, т.е. среднее число событий, появляющихся в единицу времени;

a = λt - математическое ожидание числа событий, появляющихся за данный отрезок времени. Предварительным признаком принадлежности опытных данных к пуассоновскому закону является равенство математического ожидания и дисперсии

М (x) = D (x). (2.14)

Вследствие этого число связей S равно 2.

Рассмотрим на примере порядок проверки гипотезы о при­надлежности опытных данных к закону Пуассона. Исследуется закон распределения числа самосвалов, прибывающих на погрузку в песчаный карьер в промежуток времени от 8.00 до 9.00. Всего было зафиксировано 200 наблюдений.

1. На основании методики, изложенной в 1.2, определяем опытные частоты и частости попаданий случайной величины в интервалы, на основании которых строим гистограмму распределения (рис. 2.5). Все результаты расчетов заносим в табл. 2.5.

2. Используя данные пятого столбца табл. 2.5, находим статистическое математическое ожидание числа автомашин, при­бывающих на пункт погрузки

3. Находим статистическую дисперсию

4. Находим несмещенную оценку среднего квадратического отклонения

Предварительный анализ показывает, что математическое ожи­дание незначительно отличается от дисперсии, но для более строгой проверки гипотезы о принадлежности опытных данных закону Пуассона применим критерий Пирсона.

5. Теоретические вероятности находят по формуле (2.13). При расчетах целесообразно пользоваться следующей рекуррентной формулой:

(2.15)

Находим

Пользуясь формулой (2.15), последовательно находим:

При расчете теоретических вероятностей по закону Пуассона удобно пользоваться микрокалькулятором, весь расчет при этом занимает не более минуты. Полученные результаты заносим в столбец 7 табл. 2.5.

На основании выполненных расчетов наносим на гистограмму выравнивающую её теоретическую кривую закона Пуассона.

Рис. 2.5. Гистограмма распределения числа прибыва­ющих автомобилей в пункт погрузки (I) и выравнивающая её теоретическая кривая закона Пуассона (2)

Таблица 2.5

Статистическая обработка экспериментальных данных - числа прибытия автомобилей на пункт погрузки

Номер разряда	Число прибывающих автомобилей xi	Опыт­ные часто­ты	Опыт­ные часто­сти			Теорети­ческие вероятно­сти Pi	Теоретичес­кие числа попадания в интер­валы	Слагаемые критерия Пирсона
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	0	6	0,030	0	0	0,052	10,4	1,86
2	I	30	0,150	30	30	0,154	30,8	0,02
3	2	48	0,240	96	192	0,228	45,6	0,13
4	3	51	0,255	153	459	0,224	44,8	0,85
5	4	36	0,180	144	576	0,165	33,0	0,27
6	5	16	0,080	80	400	0,097	19,4	0,60
7	6	6	0,030	36	216	0,048	9,6	1,35
8	7	5	0,025	35	245	0,020	4,0	0,25
9	8	2	0,010	16	128	0,008	1,6	0,10
Итоговая строка		==200	==1,0	=590	=2246	=1,0		χ2 = 5,43

6. Вычисляем теоретические числа попадания случайной величины в разряды

m_i = P_{i испр} N.

Получаем m₁ = 0,052 ∙ 200 = 10,4; m₂ =0,154 ∙ 200 = 30,8. Аналогично для всех остальных разрядов (см. столбец 8 табл.2.5),

7. Определяем слагаемые критерия Пирсона (см. столбец 9 табл,2.5). Суммируя эти значения, находим

χ² = 5,43.

8. Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к пуассоновскому закону с помощью критерия Пирсона. Для рассматриваемого примера число степеней свободы К = n - S = 9-2 = 7 и заданный уровень значимости α = 0,05. По таблице V приложения с помощью метода линейной интерполяции находим P (χ², К) = Р(5,43;7) = 0,608 > 0,05. Следовательно, по критерию Пирсона гипотеза о принадлежности опытных данных к закону Пуассона подтверждается.

9. Проверяем правдоподобность принятой гипотезы с помощью критерия Романовского

И по критерию Романовского гипотеза о принадлежности опытных данных к закону Пуассона подтверждается.

10. С помощью методики, изложенной в 1.4, вычисляем доверительный интервал разброса среднего результата с надеж­ностью γ = 0,95,

Так как N = 200, то при γ = 0,95

t_γ = 1,96.

Определяем точность оценки

Находим доверительный интервал для математического ожидания

M*(x) - Δ < M(x) < M^*(x) + Δ, т.е.

2,95 - 0,22 < M(x) < 2,95 + 0,22, или

2,73 < M(x) < 3,17.

Следовательно, с надежностью γ = 0,95, можно утверждать, что число автомобилей, прибывающих в пункт погрузки, в среднем бу­дет не меньше 2,7 автомобилей и не больше, чем 3,2 автомобиля.. Верхняя граница доверительного интервала должна учитываться при техническом оснащении погрузочного пункта.