Тема 9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
1. Случайная величина Х задана
дифференциальной функцией f(x)
=
в интервале (0, 2); вне этого интервала
f(x) = 0. Найти
математическое ожидание величины Х.
Отв. M(X) = 4/3.
2. Случайная величина Х в интервале (-с, с) задана дифференциальной функцией
вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины Х.
3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией
f(x) =
Найти математическое ожидание величины Х.
Отв. М(Х) = 0.
4. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x) = c(x2 + 2x) в интервале (0, 1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти: а) параметр с; б) математическое ожидание величины Х.
Отв. а) с = ¾; б) М(Х) = 11/16.
5. Случайная величина Х, возможные значения которой неотрицательны, задана интегральной функцией
F(x) = 1 – e-α|x| (α > 0).
Найти математическое ожидание величины Х.
Отв. М(Х) = 1/ α.
6. Случайная величина Х задана
дифференциальной функцией f(x)
=
в интервале (0, π); вне этого интервала
f(x) = 0. Найти
математическое ожидание функции Y
= φ(X) = X2
(не находя предварительно дифференциальной
функции Y).
7. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x) = cosx в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание функции Y = φ(X) = X2 (не находя предварительно дифференциальной функции Y).
Отв.
8. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x) = x + 0,5 в интервале (0, 1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание функции Y = X3 (не находя предварительно дифференциальной функции Y).
Отв. М(Х3) = 13/40.
9. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x) = 2 cos 2x в интервале (0, π/4); вне этого интервала f(x) = 0. Найти а) моду; б) медиану Х.
10. Случайная величина Х в интервале (2, 4) задана дифференциальной функцией
f(x) =
вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.
11. Случайная величина Х в интервале (3, 5) задана дифференциальной функцией
f(x) =
вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.
Отв. М0(Х) = М(Х) = Ме (Х) =4.
12. Случайная величина Х в интервале (-1, 1) задана дифференциальной функцией
f(x) =
вне этого интервала f(x) = 0. Найти: а) моду, б) медиану Х.
Отв. а) Моды Х не имеет (дифференциальная функция не имеет максимума); б) Ме (Х) = 0 (кривая распределения симметрична относительно прямой х = 0).
13. Случайная величина Х при х ≥ 0 задана дифференциальной функцией (распределение Вейбулла)
f(x) = 0 при x < 0. Найти моду Х.
Отв.
14. Доказать, что математическое ожидание непрерывной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными значениями.
15. Доказать, что если
,
то М(Х) =
16. Случайная величина Х в интервале (-с, с) задана дифференциальной функцией
f(x) =
вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию Х.
17. Случайная величина Х в интервале (-3, 3) задана дифференциальной функцией
f(x) =
вне этого интервала f(x) = 0. а) Найти дисперсию Х; б) что вероятнее: в результате испытания окажется Х < 1 или X > 1?
Отв. а) D(X)
= 4,5; б)P(-3 < X
< 1) = 0,5 +
P(1 < X <
3) = 0,5 -
18. Доказать, что дисперсия непрерывной случайной величины Х может быть вычислена по формуле
D(X) =
19. Случайная величина Х в интервале (0, π) задана дифференциальной функцией
f(x) =
вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию Х.
20. Случайная величина Х в интервале (0, 5) задана дифференциальной функцией
f(x) =
вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию Х.
Отв. D(X) = 25/18.
21. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной интегральной функцией
22. Случайная величина задана интегральной функцией
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х.