Тема 26. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки)

1. По двум независимым выборкам, объем которых n = 40 и m = 50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей найдены выборочные средние . Генеральные дисперсии известны: D(X) = 80, D(Y) = 100. Требуется, при уровне значимости 0,01, проверить нулевую гипотезу H₀: M(X) = M (Y), при конкурирующей гипотезе H₀: M(X) ≠ M (Y).

Отв. z_кр = 2,58. Выборочные средние различаются значимо.

2. По выборке объема n = 30 найден средний вес г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объема m = 40 найден средний вес = 125г изделий, изготовленных на втором станке. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 60г², D(Y) = 80г². Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу H₀: M(X) = M (Y) при конкурирующей гипотезе M(X) ≠ M (Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.

Отв. Z_набл = 2,5; z_кр = 1,96. Нулевая гипотеза отвергается. Средний вес изделий различается значимо.

3. По выборке объема n = 50 найден средний вес мм диаметра валиков, изготовленных автоматом №1; по выборке объема m = 50 найден средний размер = 19,8 мм диаметра валиков, изготовленных автоматом №2. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 1,750 мм², D(Y) = 1,375 мм². Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу H₀: M(X) = M (Y) при конкурирующей гипотезе M(X) ≠ M (Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.

Отв. Z_набл = 1,2; z_кр = 1,96. Данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой; выборочные средние различаются незначимо.

Тема 27. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (малые независимые выборки)

1. По двум независимым малым выборкам, объемы которых n = 12 и m = 18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние и исправленные дисперсии S²_X = 0,84 и S²_Y = 0,40. Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу H₀: M(X) = M(Y) при конкурирующей гипотезе H₁: M(X) ≠ M(Y).

Отв. Нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается.

2. По двум независимым малым выборкам, объемы которых n = 10 и m = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние и исправленные дисперсии S²_X = 2,7 и S²_Y = 3,2. При уровне значимости 0,01, проверить нулевую гипотезу H₀: M(X) = M(Y) при конкурирующей гипотезе H₁: M(X) ≠ M(Y).

Отв. F_набл = 1,23; F_кр(0,01; 7; 9) = 5,62. Нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий. Имеем |Т_набл| = 3,7; t_{двуст.кр}(0,01; 16) = 2,92. Нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается.

3. Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, извлечены малые выборки, объемы которых n = 10 и m = 12. Получены следующие результаты:

Контролируемый размер изделий первого станка	xi	3,4	3,5	3,7	3,9
Частота (число изделий)	ni	2	3	4	1
Контролируемый размер изделий второго станка	yi	3,2	3,4	3,6	-
Частота (число изделий)	mi	2	2	8	-

Требуется, при уровне значимости 0,02, проверить гипотезу H₀: M(X) = M(Y) о равенстве средних размеров изделий при конкурирующей гипотезе H₁: M(X) ≠ M(Y).

Отв. Средние размеры изделий существенно не различаются.

4. На уровне значимости 0,05, требуется проверить нулевую гипотезу H₀: M(X) = M(Y) о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей X и Y при конкурирующей гипотезе H₁: M(X) > M(Y) по малым независимым выборкам, объемы которых n = 10 и m = 16. Получены следующие результаты:

xi	12,3	12,5	12,8	13,0	13,5
ni	1	2	4	2	1

yi	12,2	12,3	13,0
mi	6	8	2

Отв. Нет оснований принять или отвергнуть гипотезу. Следует увеличить объем выборки.