§ 5 Електродинамічний мікрофон

Тісний взаємозв'язок і взаємообумовленість змінних елек­тричних і магнітних полів має не лише принципове, а й велике практичне значення. Так, відкриття закону електро­магнітної індукції уможливило створення потужних генера­торів електричного струму, систем передачі електроенергії (проводами і без проводів) на величезні відстані. Явище елек­тромагнітної індукції дає змогу прискорювати заряджені частинки в кільцевих вакуумних камерах, розміщених у щвидкозмінних магнітних полях.

На використанні явища електромагнітної індукції ґрун­тується дія багатьох пристроїв для передачі людської мови, музики та зображень на відстань. Зокрема, це явище вико­ристане в будові і дії електромагнітного мікрофона -для сис­тем звукопідсилення і звукозапису. Електродинамічні мікро­фони бувають двох типів — котушкового і стрічкового. Серед високоякісних студійних мікрофонів найпоширеніші з рухо­мою котушкою (мал. 18). У них з діафрагмою Б, яка коли­вається під дією змінного звукового тиску, зв'язана котушка К, розміщена в кільцевому проміжку сильного магніту Л^.

Як'же працює цей мікрофон? Якщо на діафрагму не па­дають звукові хвилі, вона, а разом з нею і котушка, не руха­ються в магнітному полі і у витках котушки не збуджується індукційний струм. Звукові хвилі, падаючи на діафрагму, спричиняють її коливання. Разом з діафрагмою в проміжку магніту перпендикулярно до ліній його індукції коливається котушка і в її витках виникає ЕРС та індукційний струм. Збуджувана в котушці ЕРС індукції змінюватиметься як за значенням, так і за знаком. Таким чином, звукові хвилі в мікрофоні збуджують змінний струм, який передається про­водами до звукопідсилювальної і звукозаписуючої апаратури та апаратури, в якій коливання електричного струму знову перетворюються в звукові.

Електродинамічний мікрофон з рухомою котушкою має порівняно невеликі розміри, надійний в експлуатації.

В електродинамічному мікрофоні стрічкового типу роль діафрагми і в той же час рухомого провідника в магнітному полі відіграє легенька, дуже тонка, гофрована металева стрічка, яка вільно висить між полюсами сильного магніту. Звуковий тиск, діючи на стрічку, змушує її коливатись у магнітному полі і в стрічці індукується ЕРС індукції. Стріч­ковий мікрофон конструктивно простий, має добру частотну характеристику, проте розміри його порівняно великі і фор­ма не зовсім зручна.

§ 6 —САМОІНДУКЦІЯ. ІНДУКТИВНІСТЬ

Явище електромагнітної індукції спостерігається у всіх випадках, коли змінюється магнітний потік через контур.

Однак провідник зі струмом перебуває у власному магнітно­му полі і якщо це поле змінюється, в провіднику має збуд­жуватися ЕРС індукції. Власне магнітне поле такого про­відника залежить від сили струму в ньому, тому в разі зміни сили струму в колі в провіднику збуджується ЕРС. Виник­нення ЕРС в провіднику під час зміни сили струму в ньому самому називається самоіндукцією.

Далі в основному йтиметься про явище самоіндукції в котушках, де його особливо легко спостерігати.

В існуванні явища самоіндукції неважко переконатися на досліді. Нехай є розімкнуте коло (мал. 19), яке склада­ється з джерела постійної ЕРС і послідовно увімкнутих вимикача, лампочки і котушки. Під час замикання кола лампочка загоряється з певним запізненням, що поясню­ється виникненням в котушці ЕРС самоіндукції. За прави­лом Ленца в разі зростання сили струму в колі напруженість вихрового електричного поля спрямована проти напруженості електричного поля джерела. Отже, в цьому випадку самоін­дукція перешкоджає зростанню сили струму в колі і певне значення сили постійного струму І₀ встановлюється в колі не відразу, а поступово, з часом (мал. 20).

Для - спостереження явища самоіндукції під час розми­кання кола зручно скористатися схемою, показаною на малюнку 21. При розмиканні кола вимикачем К залишається замкнутим коло котушки і лампочки. Оскільки сила струму в котушці під час розмикання вимикача швидко змен­шується (мал. 22), в ній виникає ЕРС самоіндукції, яка сповільнює швидкість зменшення сили струму. Котушка на певний час стає джерелом енергії, яке підтримує силу стру­му в лампочці. В момент розмикання кола сила струму в лампочці спадає до нуля і, змінивши напрям, стрибком зростає до значення, яке може значно перевищити силу стру­му в лампочці до розмикання. Тому лампочка в момент роз­микання кола може яскраво спалахнути і навіть перегоріти.

Струми самоіндукції можна спостерігати у вигляді іскри або навіть дуги між проводом і трамвайною дугою, між ножами рубильників під час їх розмикання тощо.

Оскільки самоіндукція — окремий випадок явища елек­тромагнітної індукції, закон Фарадея (3.2) можна застосову­вати і для визначення ЕРС самоіндукції. Пригадаємо, що магнітний потік через площу, обмежену контуром струму, пропорційний силі струму. Справді, Ф - BS, а магнітна ін­дукція поля, створюваного струмом, пропорційна у всіх ви­падках силі струму, тобто В о І. Отже, можна твердити, що

Ф=ЬІ, (6.1)

де L — коефіцієнт пропорційності між силою струму в кон­турі і створюваним нею потоком магнітної індукції через цей контур.

Коефіцієнт L називається Індуктивністю провідника, або його коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність провідника в даному .середовищі визначається його розмірами і формою. Індуктивність прямолінійного провідника незначна, проте вона зростає, якщо з нього зробити виток. Індуктивність ко­тушки зростає пропорційно кількості її витків.

Запишемо формулу для обчислення ЕРС самоіндукції:

R - - ^дф - - ^A(L/)

Якщо форма контуру не змінюється, L = const і тоді о т АІ

£с=--Ьд7/- (6.2)

Таким чином, ЕРС самоіндукції в колі пропорційна швидкості зміни сили струму в цьому колі.

Якщо = 1, І £_с І = L, тобто індуктивність — це фізична

величина, яка чисельно дорівнює ЕРС самоіндукції, що виникає в контурі у разі зміни сили струму на 1 А за 1 с.

За одиницю індуктивності в СІ приймають генрі (Гн). З (6.2) видно, що генрі — це індуктивність провідника, в якому при зміні сили струму на 1 А за 1 с виникає ЕРС самоіндукції 1 В:

1Гн_в1В^С=іВ_Р, 1А А

Індуктивність провідника можна обчислити за (6.2), вимірявши на досліді величини £_с, АІ і Дг.

Індуктивність контуру можна розглядати як міру його інертності відносно змін сили струму в котушці.

ЕРС самоіндукції, яка виникає під час замикання і роз­микання кола, може бути в деяких випадках досить знач­ною. Чим більша індуктивність кола, тим більша ЕРС і сила струму самоіндукції. Ось чому у разі вимикання рубиль­ників, які розмикають електричні кола з потужними елект­ромагнітами, електродвигунами, трансформаторами та інши­ми пристроями з великою індуктивністю, між їх ножами пролітає електрична іскра, яка іноді може перейти в дуговий розряд і зіпсувати рубильник. Причиною цього є виникнення в колі настільки великої ЕРС самоіндукції, що між ножами рубильника пробивається повітряний проміжок. Для розми­кання таких кіл користуються масляними вимикачами і вживають інших застережних заходів. У лініях електропере­дач, навантажених великою індуктивністю, для екстреного вимикання передбачені спеціальні автоматичні вимикачі, розміщені в окремих приміщеннях без людей і забезпечених іскрогасними пристроями. Під час вимикання потужних електродвигунів для запобігання виникненню великих ЕРС самоіндукції часто спочатку зменшують силу струму в колі, а потім повністю вимикають струм. З цієї ж причини не можна подачу електроенергії у великому цеху, де працює багато верстатів, вимикати загальним рубильником. Слід спочатку вимкнути верстати, а потім вимкнути загальний рубильник, інакше може виникнути небезпека пробивання ізоляції обмоток електродвигунів.

1. В який момент іскрить рубильник: під час замикання чи роз­микання кола? Чому? 2. Неонову лампу, розраховану на 127 В, вмикають паралельно обмотці електромагніту переривного при­строю. Переривник працює від акумуляторної батареї. Поясніть, чому неонова лампа загоряється, хоча напруга бата­реї всього 4,5 В. 3. Чому відмикання від мережі живлення по­тужних електродвигунів здійснюють плавно і повільно за допо­могою реостата? 4. Правилами техніки безпеки забороняється

виконувати монтажні перемикання в електричних колах, коли вони перебувають під напругою ЗО В. Чому таке перемикання особливо небезпечне, якщо в коло увімкнуті котушки індук­тивності (трансформатори, дроселі тощо)?

Вправа 3.

1. У котушці індуктивністю Ь = 0,4 Гн виникає ЕРС са­моіндукції § = 20 В. Визначте середню швидкість зміни сили стру­му в котушці.

1. Середнє значення ЕРС самоіндукції, яка виникає в соленоїді у разі зміни сили струму в ньому на АІ = 6 А за Д£ = 0,2 с, дорівнює £ = З В. Визначте індуктивність соленоїда.

2. Котушка діаметром (і = 0,4 м міститься в змінному магнітно­му полі. Під час зміни індукції поля на ДВ = 127,4 Тл за Аї = 2 с в обмотці котушки збуджується ЕРС самоіндукції £₍, = 25 В. Скільки витків має котушка?

3. Кількість витків у трьох обмотках, а також довжина їх про­водів однакова (мал. 23). Який з цих провідників має найбільшу і який найменшу індуктивність?

7316370103

MP

67

49999999992

а б в

Мал. 23

§ 7 —ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ

Магнітне поле нерозривно зв'язане з електричним стру­мом: воно виникає, змінюється і зникає зі зміною сили стру­му. Отже, під час замикання кола частина енергії джерела струму завжди витрачається на створення магнітного поля. Тому воно повинно мати енергію, що дорівнює роботі, витра­ченій струмом на його створення. Саме енергією магнітного поля пояснюється явище електромагнітної індукції, зокрема самоіндукції. У разі замикання кола з джерелом постійної ЕРС сила струму не відразу досягає максимального значення

(яке визначається законом Ома), а певний час зростає, оскільки частина енергії джерела витрачається в цей час на створення магнітного поля. Досягнувши максимального зна­чення, сила струму в колі не змінюватиметься. При цьому стає постійним і магнітне поле струму, а його енергія не змінюється. Джерело струму витрачає енергію лише на підтримання сталої сили струму, і ця частина енергії пере­творюється у внутрішню енергію провідників, тобто витра­чається на їх нагрівання. Під час розмикання кола магнітне поле струму зникає, однак, згідно із законом збереження енергії, його енергія перетворюється в енергію струму са­моіндукції, який підсилює струм, що вимикають.

Таким чином, явище електромагнітної індукції ґрун­тується на взаємних перетвореннях енергій електричного струму і магнітного поля.

Нехай у котушці з індуктивністю Ь сила струму зростає від нуля до максимального значення / за час Ді. Під час зро­стання сили струму в колі джерело виконує роботу проти індукційного електричного поля, яке протидіє наростанню сили струму. Енергія створеного магнітного поля дорівнюва­тиме цій роботі, тобто

ЕРС індукційного електричного поля 1'і =-Ь-^-. Оскільки

сила струму змінюється від 0 до /, то Аі = І і тому іі ⁼ ~^~^-

Припустимо, що сила струму в колі рівномірно зростає протягом часу Аі від 0 до /, тоді середнє значення сили стру­му Г₀ = -|-.Г. Отже,

=ь±±т=±и². (7.1)

^м М 2 2

Незважаючи на те, що під час виведення цієї формули було зроблено ряд спрощень, ми дістали точний вираз для енергії магнітного поля.

1. Електромагніт вмикають у коло постійного струму. Чому максимальна сила струму в колі встановлюється не відразу?

2. Коло, яке містить джерело постійної ЕРС, замкнули. На що затрачається енергія джерела до і після встановлення постійної сили струму?

ьисноьки

зміни потоку магнітної індукції: І

. Головним у явищі

Під час будь-якої зміни потоку магнітної індукції через площу, обмежену замкнутим провідним контуром, у ньому виникає ЕРС індукції, що дорівнює за модулем швидкості

\ф

■ м

електромагнітної індукції є процес збудження змінним в часі магнітним полем вихрового електричного поля.

Індукційний струм у замкнутому контурі має такий напрям, що створений ним потік магнітної індукції через площу, обмежену контуром, прагне компенсувати ту зміну потоку магнітної індукції, яка викликає даний струм. У цьо­му полягає суть правила Ленца, яке є наслідком закону збереження і перетворення енергії в електромагнітних проце­сах.

Окремим випадком електромагнітної індукції є са­моіндукція — виникнення ЕРС у провіднику, зумовлене зміною сили струму в цьому ж провіднику. ЕРС самоіндукції прямо пропорційна швидкості зміни сили струму в цьому ж

колі: Є_с = -Ь-£.

Магнітне поле котушки зі струмом має енергію:

ИГ. =-ЬІ². м ₂

РОЗДІЛ II

МЕХАНІЧНІ КОЛИЬАННЯ

У техніці й повсякденному житті ми на кожному кроці стикаємося з коливальними рухами: коливаються мости під дією потягів і машин, які по них рухаються; коливаються (вібрують) оброблювані на токарних і фрезерних верстатах деталі; вібрує фундамент швидкохідної турбіни в такт з обер­тами-головного вала, погойдуються гілки дерев під дією вітру, коливається атом у кристалічній решітці тощо. Важ­лива особливість коливальних рухів — їх періодичність, тоб­то точна або наближена повторюваність руху тіл через рівні інтервали часу. Мінімальний інтервал часу, через який відбувається повторення руху тіла, називають періодом коли­вань Т. Кількість коливань, здійснених за одиницю часу, на­зивають частотою коливань V. Легко зрозуміти, що

частота — величина, обернена до періоду: у = . У фізиці й

техніці широко використовується поняття колової (циклічної) частоти, що визначає кількість коливань, які відбуваються за 2тг секунд. Зв'язок між циклічною частотою ш, частотою V та періодом коливань задається виразом:

Пристрої, в яких можуть здійснюватися коливання, на­зивають коливальними системами. Будь-яка коливальна система має положення рівноваги. Нерухома система обов'язково перебуває в такому положенні. Сама по собі система не може вийти з положення рівноваги; для цього необхідний вплив зовнішньої сили.

§ 8 - - ВІЛЬНІ ТА ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ

У коливальній системі, виведеній з положення рівноваги і залишеній саму собі, під дією внутрішніх сил виникають вільні коливання. Коливання тягарця, підвішеного на пру­жині чи на довгій нитці (мал. 24),— це приклад вільних коливань. Після виведення такої системи з положення рівно-

Мал. 24

ваги виникають умови, за яких тіла коливаються без впливу зовнішніх періодично змінних сил.

Коливання під дією зовнішніх сил, які періодично змінюються, називають вимушеними коливаннями. Виму­шені коливання здійснюють поршень у циліндрі двигуна внутрішнього згоряння і ніж електробритви, паровий молот і голка швейної машини, струна гітари і фундамент швид­кохідної турбіни, серце людини і кузов залізничного вагона, крила літака в польоті і різець стругального верстата тощо.

З'ясуємо, які властивості повинна мати система, щоб у ній могли виникнути вільні коливання, і за яких умов вони мо­жуть виникнути. Розглянемо рух горизонтального пружинно­го маятника. Це пружина, один кінець якої жорстко закріпле­ний, а на другому є кулька з наскрізним отвором (мал. 25). Во­на може ковзати без тертя вздовж горизонтального стержня. В стані рівноваги (спокою) кулька перебуває в положенні А (мал. 25, о). Сила тяжіння кульки тЦкомпенсується реакцією

стержня ІУ: /п£Ч-ІУ = 0. Якщо відтягнути кульку вправо від по­ложення рівноваги А до положення В (мал. 25, б) і потім відпу­стити її, то вона здійснюватиме коливання навколо положення рівноваги А.

З'ясуймо причину цих коливань. Зміщуючи кульку впра­во, ми розтягуємо пружину на х_м, при цьому виникає сила

пружності пружини ]?, яка прагне повернути кульку до поло­ження рівноваги. Ця сила згідно з законом Гука пропорційна

деформації пружини і напрямлена вліво. Під дією сили ЇЇ кулька рухатиметься з прискоренням вліво і її швидкість зро­статиме. Сила її зменшуватиметься, оскільки зменшується деформація пружини. Досягнувши положення рівноваги А, кулька не зупиниться, хоча в цьому положенні на неї не діятиме сила (пружина не розтягнута); рухаючись по інерції, вона пройде положення рівноваги і почне стискати пружину. В результаті виникає сила пружності, яка напрямлена вже вправо і гальмує рух кульки (мал. 25, в). Ця сила, а отже, і напрямлене вправо прискорення зростають за модулем прямо пропорційно модулю зміщення х кульки відносно положення рівноваги. А швидкість зменшується доти, поки-в крайньому лівому положенні не перетвориться на нуль. Після цього під дією сили пружності кулька почне рухатися з прискоренням вправо; по інерції вона знову пройде положення рівноваги і знову опиниться в В, здійснивши таким чином одне повне ко­ливання. Далі все повторюватиметься.

. Отже, причинами коливань масивної кульки на пружині є сила пружності, яка виникає під час розтягу і стискання пружини, та інерція кульки.

Якби не існувало тертя, рух кульки не припинився б ніколи. Однак тертя (зокрема, опір повітря) є, причому на­прям сили опору і під час руху кульки і вправо, і вліво весь час протилежний напряму швидкості. Тому тертя гальмує рух кульки, і розмах її коливань поступово зменшується до­ти, поки рух не припиниться. Якщо тертя незначне, затухан­ня стає помітним лише після того, як кулька здійснить бага­то коливань. І якщо нас цікавить рух кульки протягом не дуже великого інтервалу часу, затуханням її коливань мож­на нехтувати. В цьому випадку вплив сили опору на рух можна не враховувати.

Аналогічні процеси відбуваються під час коливань про­стого маятника — масивної кульки, підвішеної на довгій нитці. Якщо розміри кульки набагато менші за довжину нитки, цими розмірами можна нехтувати і розглядати куль­ку як матеріальну точку. Розтягом нитки також можна не­хтувати, оскільки він дуже малий. Можна нехтувати і масою

нитки порівняно з масою кульки. Таким чином, замість реального фізичного маятника-кульки певно­го розміру на нитці, яка, звичайно, трохи деформується під час руху і має масу, можна розглядати просту модель: матеріальну точку, підвіше­ну на нерозтяжній невагомій нитці. Така модель маятника називається математичним маятником. Під­вішена на довгій тонкій нитці ма­ленька кулька поводиться прак­тично так само, як і математичний маятник.

Виведемо маятник з положення рівноваги О до точки В (мал. 26) і відпустимо його — він коливатиметься. Розглянемо причину цих коливань.

Коли маятник перебуває в спокої у положенні А, сила тяжіння кульки Р і сила пружності нитки Р діють на куль­ку під кутом одна до одної. Розкладемо силу тяжіння Р на дві складові: нормальну Р_н, напрямлену вздовж нитки, і тан­генціальну Р_т, напрямлену перпендикулярно до нитки по до-тичній_до траєкторії кульки. Сила пружності нитки і? і скла­дова Р_н сили тяжіння перпендикулярні до швидкості маятника і надають йому так званого нормального, або доцен­трового, прискорення, напрямленого до центра дуги кола — траєкторії маятника. Робота цих сил дорівнює нулю, і тому згідно з теоремою про кінетичну енергію вони не змінюють модуля швидкості маятника. їх дія зумовлює лише безпе­рервну зміну напряму швидкості, так що в будь-який момент часу швидкість напрямлена по дотичній до дуги кола.

Тангенціальна складова Р_т сили тяжіння створює так зване тангенціальне прискорення, яке характеризує зміну модуля швидкості. Під дією складової Р_т маятник починає рухатися по дузі кола вниз і швидкість його зростає. В міру

руху маятника тангенціальна складова Р_т сили тяжіння, на­прямлена до положення рівноваги, зменшується і в момент, коли маятник проходить через положення рівноваги, вона перетворюється на нуль. Внаслідок інертності маятник руха­тиметься далі, піднімаючись угору. При цьому складова Р_т вже буде напрямлена проти швидкості. Тому швидкість ма­ятника зменшується, і тим швидше, чим більший кут між ниткою і вертикаллю. Адже із збільшенням кута ця складо-

ва сили тяжіння зростає. В момент зупинки маятника у верхній точці його тангенціальне прискорення максимальне і напрямлене в бік положення рівноваги. Далі швидкість ма­ятника збільшується, і він знову рухається до положення рівноваги. Пройшовши його, він повертається в початкове положення," здійснивши одне повне коливання. Звичайно, це можливо тоді, коли сила опору незначна і її роботою протя­гом невеликого інтервалу часу можна нехтувати. Далі все знову повторюється.

Розглянувши різні приклади вільних механічних коли­вань, можна виділити умови їх виникнення:

1. сили, які діють на тіло, або хоча б одна з них, мають залежати від координат. В одному певному положенні тіла у просторі, яке називають положенням рівноваги, рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, має дорівнювати нулю. Якщо тіло вивести з положення рівноваги, рівнодійна всіх сил не по­винна дорівнювати нулю і бути напрямленою до положення рівноваги;

2. сили тертя в коливальній системі мають бути мізерно малими.

*")

1. Що таке коливальна система? В якому положенні перебуває коливальна система в спокої? 2. Які коливання називають вільними? Наведіть приклади вільних коливань, бажано не згаданих у тексті. 3. Які коливання називають вимушеними? Навести приклади таких коливань. 4. За яких умов у коли­вальній системі виникають вільні коливання?

§ 9 — РІВНЯННЯ РУХУ ТІЛА,

ЯКЕ КОЛИВАЄТЬСЯ ПІД ДІЄЮ СИЛ ПРУЖНОСТІ І ТЯЖІННЯ

Ми розглянули якісно умови виникнення вільних ме­ханічних коливань під дією сил пружності й тяжіння. Кількісно процес таких коливань можна описати, скористав­шись законами Ньютона. Нагадаємо, що згідно з другим законом Ньютона добуток маси тіла т на прискорення ~а

дорівнює рівнодійній ^ усіх прикладених до тіла сил:

т~а = Р.

Запишемо рівняння руху для пружинного маятника (див. мал. 25). Рух кульки маятника здійснюється під дією

сили пружності Р пружини. Ця сила завжди пропорційна зміщенню кульки від положення рівноваги і напрямлена до

ЗО нього. Зміщення ж х кульки відлічується від положення рівноваги, тобто напрямлене протилежно силі. Отже,

F = -kx,

де k — жорсткість пружини.

Рівняння руху кульки запишеться як та = -kx, звідки

а = -±х. (9.1)

Оскільки маса т і жорсткість k є сталими величинами,

їх відношення — теж є сталою величиною. Ми дістали рівнян­ий

ня коливань тіла під дією сили пружності. Воно дуже про­сте: прискорення тіла завжди прямо пропорційне зміщенню і протилежно йому напрямлене.

Найважливішим є те, що такі самі рівняння описують вільні коливання в різних коливальних системах.

Вище ми встановили, що значення сили, яка повертає підвішену на нерозтяжній нитці кульку до положення рівно­ваги, залежить від кута відхилення маятника від цього по­ложення. Встановимо дану залежність математично.

Ми знаємо, що у разі відхилення маятника від положення рівноваги на маятник діє повертальна сила — тангенціальна

складова Р_т сили тяжіння, надаючи кульці маятника тан­генціального прискорення ~а_т. Тангенціальна складова Р_т зав­жди напрямлена в бік, протилежний збільшенню зміщення кульки маятника. Зміщення кульки від положення рівнова­ги можна характеризувати кутом а відхилення нитки від вертикалі і довжиною дуги s = OA (див. мал. 26), взятої із знаком « + », якщо кулька зміщується від положення рівно­ваги О вправо, і зі знаком «-», якщо вона зміщується вліво. Очевидно, що s = аі.

Тангенціальна складова сили тяжіння

Р_т = -Р sin а = -mg sin а.

Значення тангенціальної складової взято із знаком «-» тому, що Р_т і а мають протилежні знаки.

Згідно з другим законом Ньютона та_т - Р_Т,

або ma_T = -mg sin а, звідки а_т = -g sin а. . Досі ми вважали, що кути відхилення нитки маятника від «вертикалі можуть бути якими завгодно. Надалі розгляда­тимемо випадки, коли відхилення маятника від положення рівноваги настільки малі (3—5°), що синус кута можна вва­жати пропорційним значенню самого кута. Якщо кут ви­мірювати в радіанах, sin а = а. Отже,

a_T = -ga.

Підставивши замість а вираз у» дістанемо

а_т = -Х*. (9.2)

Це рівняння збігається з рівнянням руху кульки на пру­жині (9. 1)і Тут лише замість координати х стоїть довжина дуги в, а коефіцієнт пружності залежить не від жорсткості пружини і маси кульки, а від прискорення вільного падіння і довжини нитки. Однак знову прискорення (тепер тан­генціальне) прямо пропорційне зміщенню (визначається ду­гою) кульки від положення рівноваги. Таким чином, ми дійшли важливого висновку, що рівняння руху кульки на пружині і маятника однакові. Зміщення кульки на пружині і маятника від положень рівноваги змінюються з часом за од­ним і тим самим законом, хоч сили, які зумовлюють коли­вання, мають різну фізичну природу.

§ 10 — ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ

Знаючи, як пов'язані між собою прискорення і коорди­ната тіла, яке коливається, можна,за допомогою математич­ного аналізу знайти залежність координати від часу. Ми ж встановимо вид функції f(t), яка виражає залежність зміщення х від часу t, розглядаючи зв'язок між коливання­ми маятника і рухом кульки по колу.

На малюнку 27 показано коливання кульки, яка ковзає вздовж осі ОХ, під дією сили пружності пружини F = -kx. Коливання кульки можна розглядати як проекцію колового руху кульки на вісь ОХ. Нехай А — рухомий радіус до­поміжного кола, який відповідає найбільшому відхиленню кульки від положення рівноваги. Якщо обертати кульку по колу з такою кутовою швидкістю to, щоб проекція її руху збігалася з рухом кульки під дією сили пружності пружини, то її миттєве положення визначиться рівністю

х = A cos ф.

Під час обертання рухомого радіуса із сталою кутовою швидкістю to кут ф між радіусом і віссю ОХ зростає прямо пропорційно часу:

ф = cot.

Проекція х рухомого радіуса на вісь ОХ змінюватиметь­ся за законом:

х = A cos ф = A cos art. (10.1)

Аналогічно можна також порівняти коливання тіні куль­ки, закріпленої на диску, який обертається із сталою куто­вою швидкістю со, і кульки пружинного маятника (мал. 28). Можна дібрати таку швидкість обертання диска, що рух тіні кульки на екрані повністю збігатиметься з рухом кульки пружинного маятника. Так само можна показати, що про­екція рухомого радіуса диска ОМ на вертикальний діаметр змінюватиметься за законом:

х = A sin ф = A sin cor. (10.2)

Проекції рухомого радіуса в обох описаних випадках можна розглядати як координати кульки, яка обертається по колу.

Таким чином, в зазначених випадках координата тіла, яке здійснює вільні коливання, змінюється з часом за зако­ном синуса чи косинуса.

Періодичні зміни фізичної величини залежно від часу, які відбуваються за законом синуса або косинуса, називають гармонічними коливаннями.

Гармонічно можуть змінюватися різні фізичні величини: координата, швидкість, прискорення тощо. Спочатку розгля­датимемо гармонічні коливання координати. Надалі ознайо­мимося з гармонічними змінами інших величин.

Важливою характеристикою коливального руху є амплі­туда. Амплітудою гармонічних коливань називають модуль

2 2-261

33

найбільшого зміщення тіла (коливальної системи) від поло­ження рівноваги. На малюнку 26 амплітудою коливання маятника є дуга OB, а на малюнках 27 і 28 — зміщення, що дорівнює радіусу відповідного кола.

Амплітуда може мати різні значення залежно від того, наскільки ми зміщуємо тіло від положення рівноваги в по­чатковий момент часу, і від того, яка швидкість надається при цьому тілу. Тобто амплітуда визначається початковими умовами. Вона дорівнює множнику при синусоїдальній (10.2) чи косинусоїдальній (10.1) функції, яка відповідає даному коливальному процесу.

У гармонічних коливаннях координати коливного тіла, його швидкість і прискорення також змінюються гармоніч­но. Швидкість і прискорення тіла в коливальному русі теж можна визначати як проекції швидкості і прискорення тіла, яке рівномірно обертається по колу. Модуль швидкості руху кульки по колу V весь час сталий, а проекція вектора швид­кості (або швидкість руху проекції кульки на вертикальний діаметр) з часом змінюється (мал. 29). Вона дорівнює v лише в точці О, а в усіх інших менша за и і перетворюється на нуль у точках А і В. Швидкість v₀ = cor тіла, що обертається, в точці М утворює з діаметром AB кут ф = cor, тоді її проекція на цей діаметр дорівнює:

V = cor cos ф = cor cos cor = v₀ cos cor. (10.3)

Таким чином, миттєва швидкість у гармонічних коли­ваннях змінюється з часом гармонічно. Найбільше значення v₀ = cor вона має в момент проходження положення рівнова­ги. Нульове значення швидкості у гармонічному коливанні має тіло в положенні максимального відхилення від поло­ження рівноваги, коли со£ ⁼ у^л-

Прискорення а₀ = со²г у проекції на діаметр AB має напрям, протилежний напряму зміщення х (див. мал. 29), тому миттєве значення прискорення

а = -co²r sin ф = -co²r sin cot = -а₀ sin cot. (Ю.4)

Однак r sin wt = x, тому

а = -co²x. (10.5)

Таким чином, прискорення у гармонічних коливаннях тіла змінюється, як і координата, гармонічно (за законом синуса), однак у будь-який момент часу прискорення і коор­дината мають протилежні знаки. Прискорення і координата одночасно стають максимальними за модулем, однак мають протилежні знаки. Якщо збільшувати зміщення (координа-

Мал. 29

ту) тіла, коливання сповільнюється, а якщо зменшувати зміщення, то прискорюється. В момент досягнення зміщен­ням найбільшого додатного значення прискорення набуває найбільшого від'ємного значення і навпаки.

З'ясуємо зміст величини со в гармонічному коливанні (в коливаннях це вже, звичайно, не кутова швидкість). Через інтервал часу, який дорівнює періоду Т, тобто при збільшенні аргументу синуса чи косинуса в рівняннях (10.4) і (10.3) на соТ, рух повторюється і синус чи косинус набуває попереднього значення. А з курсу математики ви знаєте, що період синуса (косинуса) дорівнює 2л.

Отже, величина со — це число коливань тіла, але не за секунду, а за 2л секунд. її називають коловою (або циклічною) частотою. Частоту вільних коливань називають власною ча­стотою коливальної системи.

1. Які коливання називають гармонічними? 2. Як пов'язані прискорення і координата у гармонічних коливаннях? 3. Як змінюється з часом швидкість у гармонічних коливаннях?

§11 —ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ КОЛИВАНЬ

Вивчення законів коливань полегшується в багатьох ви­падках побудовою графіків коливань, тобто малюнків, які дають наочне уявлення про характер коливань залежно від часу. Дістати такий графік можна побудовою за точками графіка функції (10.1) — (10.4). Для цього на горизон­тальній осі в обраному масштабі відкладають час або про-

2*

35

порційне йому значення сог, виражене в радіанах, а на вер­тикальній осі — значення зміщення, координати, швидкості, прискорення тощо. Отримані криві залежно від закону коли­вання відповідно є синусоїдами чи косинусоїдами.

На малюнку ЗО показано графіки зміщення (координа­ти), швидкості і прискорення тіла, що коливається. Слід пам'ятати, що ці графіки зображають залежність зміни відповідних величин від часу, а не їх зміни у просторі.

Графік коливання можна записати реєструючим прила­дом. Графік коливань маятника можна дістати зовсім про­сто. Для цього до тонкої довгої нитки замість суцільного тя­гарця підвісимо лійку, заповнену дрібним піском (мал. 31). Нижній край лійки має невеликий отвір. Наповнимо лійку піском і закриємо випускний отвір. Приготуємо паперову стрічку, вкриту шаром клею. Відхилимо маятник так, щоб він здійснював коливання у площині рамки і рівномірно пе­реміщатимемо стрічку в напрямі, перпендикулярному до площини коливання маятника. Падаючий пісок запише на стрічці синусоїду (мал. 32).

Х,см

4 'б 'в ' іЬ ' 12 ' ґ,с

Мал. 34

Записана падаючим піском синусоїда дає можливість су­дити про період коливання Т, тобто про тривалість одного повного коливання маятника. Мірою періоду може слугува­ти відрізок 00₂ на горизонтальній осі (див. мал. 31), яку на­зиватимемо віссю часу. Неважко помітити, що за той час, по­ки паперова стрічка пройшла шлях 00₂, маятник здійснив одне повне коливання.

Припустимо, що стрічка рухається зі швидкістю 10 см/с. Отже, стрічка проходить 1 см за 0,1 с. Якщо відрізок 00₂ має довжину 16 см, стрічка пройшла цю відстань за 1,6 с. За цей час маятник здійснив одне повне коливання, отже, пе­ріод коливання дорівнює 1,6 с. Щоб користуватися графіком коливання, слід знати масштаб часу.

Способів записування коливань у фізиці опрацьовано ду­же багато. Найпоширеніший сучасний прилад для вивчення коливань — електронний осцилограф, із застосуванням яко­го ви ознайомитеся пізніше, вивчаючи електричні коливання.

Визначте амплітуди і періоди гармонічних коливань, графіки яких зображені на малюнках 33 і 34.

§ 12 — ФАЗА КОЛИВАНЬ

Ми ознайомилися з основними величинами, які характе­ризують гармонічні коливання: амплітудою коливань Х_м (або А), періодом Т, частотою коливань V і циклічною часто­тою со. Залишається розглянути ще одну важливу величи­ну — фазу.

Рівняння (10.2), (10.3) і (10.4) дають змогу визначити миттєві значення координати, швидкості і прискорення гар­монічного коливання тоді, коли час відлічується від момен­ту проходження коливним тілом положення рівноваги. Про два коливання однакової амплітуди й частоти, під час яких коливні точки не одночасно досягають максимального відхи-

3 7

лення, кажуть, що вони мають різні фази. З'ясуємо, що ж таке фаза коливання.

Згідно з рівняннями (10.2), (10.3) і (10.4) для заданої амплітуди гармонічних коливань координата, швидкість чи прискорення коливного тіла в будь-який момент часу одно­значно визначаються аргументом синуса чи косинуса ф = cot. Аргумент, що стоїть під знаком синуса чи косинуса, нази­вають фазою коливань, які описуються цими функціями. Фаза визначає для заданої амплітуди стан коливальної сис­теми в будь-який момент часу.

Оскільки со = то ф = cot = 2л-|г. Відношення y показує, яка частина періоду минула з моменту початку коливань. Будь-якому значенню часу, вираженому в частках періоду, відповідає значення фази, виражене в радіанах. Так, через

час t = -^T (чверть періоду) ф = уЯ, через півперіоду ф = л,

після цілого періоду ф = 2л і т. д.

Розглянемо, як записується рівняння гармонічного коли­вання тіла, якщо відлік часу коливання починається в момент найбільшого зміщення тіла. Згідно з рівнянням (10.2), макси­мального зміщення тіло досягне за чверть періоду ^-Т^. Якщо час почати відлічувати від цього моменту, зміщення запи­шеться як

jc=X_Msinco^t + -i-r)=X_Msin(cot + -g-n)=X_Mcoscot. (12.1)

Гармонічні коливання (10.2) і (12.1) відрізняються за фа- зою на або в одиницях часу на-^-7Л Графіки цих гар- монічних коливань показані на малюнку 33.

Для визначення різниці фаз двох коливань обидва ці ко­ливання слід виразити через одну й ту саму тригонометрич­ну функцію (або синус, або косинус).

Гармонічне коливання з довільною фазою описується рівнянням:

х = Х_м sin (cot + ф₀) або х = Х_м cos (cot + ф₀),

де cot + ф₀ — фаза коливання, а ф₀ — початкова фаза, яка ха­рактеризує стан коливальної системи в початковий момент часу (якщо t = 0).

Порівняємо рівняння (10.2), (10.3) і (10.4). Можна сказа­ти, що гармонічне коливання швидкості випереджає коли­вання координати за фазою на -tj-л , а гармонічне коливання прискорення випереджає зміни координати на л (перебува­ють у протифазі). На малюнку ЗО порівнюються графіки гар­монічних коливань координати, швидкості й прискорення. Задача. Координата тіла, виміряна в метрах, гармонічно

змінюється з часом так: х = 0,05sin (-і- nt + -^-л^.Чому дорівню­ють амплітуда коливань Х_м, циклічна частота со, період Т, частота v і початкова фаза коливань ф₀? Визначити фазу ко­ливань ф₍ і координату коливного тіла x_t у момент часу t = 0,5 с.

Розв'язання. Запишемо рівняння гармонічних ко­ливань у загальному вигляді х = Х_ш sin (art + ф₀) і порівняємо його з даним в умові. З порівняння видно, що Х_м = 0,05 м;

ш = ул с , ф₀ = -1-я. Період коливань визначимо із співвідно­шення

²\ або r = ^L = 4c.

CO

2^П

Частота коливань у = -і-, або с ¹ = 0,25 Гц.

Якщо ї - 0,5 с, то ф_г =-і-л0,5 + і-л = -і-л;

Хі = 0,05віпф, = 0,05зіпі = 0,05 м. Значення х₍ збігається з амплітудою коливань.

о

_{А А}

1. Яку фізичну величину називають фазою коливання? Що во­на характеризує? 2. Порівняйте графіки гармонічних коливань однакової частоти (мал. 35). Що можна сказати про зсув фаз цих коливань?

Вправа 4

1. Запишіть рівняння гармонічного коливання руху з ампліту­дою 0,02 м, періодом коливання 0,01 с і початковою фазою коли­вання, що дорівнює нулю.

2. Координата тіла, виміряна в метрах, змінюється з часом так: х = 0,02зіп^ші + у⁷¹)^- Чому Дорівнює амплітуда коливання тіла? Ви­значте фазу коливання і координату тіла в моменти часу £ = 0, — Т і —Т

2 8

§ 13 —МАТЕМАТИЧНИЙ МАЯТНИК

Ми встановили, що для невеликих відхилень маятника від положення рівноваги його коливання є гармонічними. Рівняння руху математичного маятника

^а = -т *•

3 іншого боку, розглядаючи рух проекції тіла, яке рівномірно обертається по колу, на діаметр кола, ми дістали для рівняння руху проекції вираз

а = - со²дг.

Порівнюючи ці рівняння, дістанемо ю² = у. Однак -со = -у-,

2 4л² Є ТОДІ со = — = -5-, звідки

Ми дістали формулу для визначення періоду коливань математичного маятника. Цю формулу було виведено і пе­ревірено на дослідах голландським фізиком Хрістіаном Гюйгенсом (1629—1695), тому її часто називають фор­мулою Гюйгенса.

Період коливань математичного маятника залежить ли­ше від прискорення сили тяжіння в даному місці Землі і від довжини маятника. Період не залежить від амплітуди коли­вань і від маси підвішеного тягарця, що легко перевірити на дослідах з різними маятниками. Слід лише пам'ятати, що розміри тягарця мають бути малими порівняно з довжиною підвісу і що малим має бути також кут відхилення маятни­ка від вертикалі. Залежність періоду коливань математично­го маятника від прискорення вільного падіння теж можна виявити. Для цього треба виміряти довжину маятника і екс­периментально визначити період його коливань.

Залежність періоду коливань математичного маятника від прискорення сили тяжіння використовується для точних вимірювань прискорення вільного падіння на поверхні Землі. Річ у тому, що прискорення вільного падіння в різних місцях земної поверхні на одній і тій самій географічній широті є не­однаковим і залежить, хоча й незначно, від густини порід, з яких складаються верхні шари земної кори. Наприклад, у районі Кривого Рогу, де залягають залізні руди, прискорення сили тяжіння дещо більше за середнє значення для цієї ши­роти. Навпаки, в районах газових і нафтових родовищ при­скорення сили тяжіння виявляється дещо меншим за середнє для цієї широти. Тому за результатами вимірювань приско­рення сили тяжіння можна виявити райони залягання корис­них копалин — залізної руди, нафти, газу тощо.

Оскільки прискорення сили тяжіння на різних планетах різне, то й період коливань математичного маятника неодна­ковий. Так, математичний маятник, період коливань якого на Землі становить 1 с, на Місяці коливатиметься з періодом 2,45 с, а на Юпітері, де прискорення сили тяжіння дорівнює 25 м/с²,— з періодом = 0,63 с.

Задача 1. Математичний маятник завдовжки 0,995 м здійснює 120 коливань за 4 хв. Визначити період коливань маятника і прискорення сили тяжіння для даної місцевості.

Розв'язання. Період дорівнює часові одного коли­вання, тобто Т --4г* або Т = 2 с. Прискорення сили тяжіння визначимо з формули періоду коливань маятника: £ = іД, або £ - 9,81 м/с².

Задача 2. Два математичних маятники почали коливати­ся одночасно. За час Ж щ 15 коливань першого маятника, другий здійснив 7У₂ = 10 коливань. Знайти відношення до­вжин маятників.

Розв'язання. Період дорівнює часу одного коли­вання, тобто Т_г = і Т₂= З іншого боку, період мате­матичного маятника Т = 2к^-^. Тому можна записати

^ \ g щ \ g

За умовою задачі маятники здійснюють і І\Г₂ коливань за однаковий час, тобто Тоді попередні вирази

можна записати

* . = 2пЖ і ^- = 2:1,

Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо:

звідки

Ми знаємо, що рівняння.гармонічних коливань пружин-ного маятника масою, т має вигляд: а = -~^^х, де /е — жорст­кість пружини. З іншого боку, прискорення під час гар­монічних коливань з циклічною частотою со визначається в будь-який момент часу виразом: а = - со²*. З цих двох ви­разів можна встановити зв'язок між циклічною частотою со, жорсткістю к тіла, яке деформується, і його масою т:,

со²=^, або со = ^Г.

Врахувавши зв'язок між циклічною частотою со і періодом коливань Т: со = -уг, для періоду коливань пружин­ного маятника дістанемо: Т = 2я.^-^.

Гармонічні коливання пружинного маятника виникають під дією сили пружності. Період і частота такого маятника не залежать від прискорення сили тяжіння, а лише від його маси і жорсткості пружини. Даний маятник здійснюватиме коливання з однаковим періодом і частотою в будь-якій точці земної поверхні, на іншій планеті або в міжпланетно­му кораблі. Ця властивість пружинного маятника може бу­ти, очевидно, використана для порівняння мас різних тіл. Для прикладу розглянемо принцип будови масметра — приладу для вимірювання маси космонавта в умовах неваго­мості. Масметр — це коливальна система, яка складається з двох пружин і крісла, в якому закріплюється космонавт. Кос­монавт, сидячи в кріслі, виводить його з положення рівнова­ги і починає вільно коливатися. Частота коливань космонав­та вимірюється спеціальним приладом — частотоміром:

¹ Г*~ гу, ^к » 1

^{У =} ~^ГЛ/~^7' звідки гп = = — -.

к С Оскільки—— величина стала, т = ——.

4я V

Шкалу частотоміра градуюють не в герцах, а в кілогра­мах.

1. Яка коливальна система називається математичним маятни­ком? 2. За якої умови коливання математичного маятника можна вважати гармонічними? 3. Від чого залежить період ко­ливань математичного маятника? 4. Як зміниться період коли­вання маятника, якщо його довжину подвоїти? потроїти? 5. Як і чому зміниться період коливання залізної кульки, підвішеної на нитці, якщо під нею помістити магніт?

Впраші 5

1. Два математичні маятники однакової довжини відхилили від положення рівноваги в один і той самий бік так, що їх нитки утворили з вертикаллю кути 4 і 2". Маятники відпустили одночас­но і в цей момент увімкнули секундомір. Яким є числове значення початкової фази коливань кожного маятника? Чи одночасно маят­ники проходять положення рівноваги? Яка різниця фаз коливань маятників у довільний момент часу?

2. Дайте відповідь на запитання попередньої задачі, якщо ма­ятники" відхилили у протилежні боки від положення рівноваги.

3. Визначте довжину математичного маятника, період коливан­ня якого на широті Одеси дорівнює 1 с ^ = 9,8077 м/с²).

4. За якою з формул: Т = 2л І—-— ч« Т = 2к \—-— слід об-

\ g - а у g + а

числювати період коливань математичного маятника, підвішеного до стелі ліфта: 1) під час рівноприскореного піднімання; 2) під час рівносповільненого піднімання; 3) під час рівноприскореного опус­кання; 4) під час рівносповільненого опускання ліфта?

5. Космічний корабель під час умикання двигунів рухається з певним прискоренням. Яким чином, скориставшись математичним маятником, підвішеним у кабіні, можна визначити прискорення а корабля?