Перестановки без повторений
Если размещения из
элементов взяты по
(такие размещения будут различаться
только порядком элементов), то такие
размещения называются перестановками
и обозначается
.
Таким образом:
Пример 3. Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг, если имеется 3 полосы различных цветов?
Сочетания без повторений
Если из всех размещений, которые можно
составить из
элементов
по
,
мы отберём только те, которые одно от
другого разнятся по крайней мере одним
элементом, то получим соединения, которые
называются сочетаниями
и обозначается
.
Другими словами, если две выборки, отличающиеся только порядком записи символов, считают совпадающими, то говорят о сочетании из m элементов по k.
Например, из четырёх элементов
сочетания по 3 будут:
.
Если в каждом из этих соединений сделаем всевозможные перестановки, то получим всевозможные размещения из четырёх элементов по 3:
Число таких размещений равно, очевидно,
.
Таким образом, число всех размещений
из
элементов
по
равно числу всех сочетаний из
элементов
по
,
умноженному на число всех перестановок,
какие можно сделать из
элементов, т.е.
.
Отсюда
Формулу числа сочетаний можно привести
к другому виду, если умножим числитель
и знаменатель её на произведение
.
Заметим, что
,
следовательно
.
Принято
Пример 4. Из десяти кандидатов на одну и ту же должность должны быть выбраны трое. Сколько может быть различных случаев выборов?
Пример 5. Из лаборатории, в которой работают 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны.
Р е ш е н и е . В этом случае коллектив из
20 человек подразделяется на две подгруппы:
3 руководителя и 17 служащих. По условию
задачи можно ни одного из руководителей
не отправлять в командировку, т.к. порядок
не важен, то таких случаев будет
и тут же надо отправить 5 человек из
числа служащих, таких комбинаций будет
,
по правилу произведения общее число
всех комбинаций будет
;
или можно отправить одного из руководителей
и четырех служащих
,
всего таких комбинаций
;
или двух руководителей
и трех служащих
,
всего
.
По правилу суммы общее число всевозможных
составов будет:
Пример 6. Из спортклуба, насчитывающего 30 человек, надо составить команду из четырёх человек для участия в беге на 1000 м. Сколькими способами можно это сделать? А сколькими способами можно составить команду из четырёх человек для участия в эстафете 100х200х400х800?
Р е ш е н и е . При ответе на первый вопрос
надо из 30 человек выбрать 4 человека,
при этом порядок не важен, следовательно
При ответе на второй вопрос, мало выбрать
4 человека, ещё их надо распределить по
этапам, т.е. важен порядок, следовательно,
