1.2Расщепление пространства в прямую сумму инвариантных подпространств

Пусть V – линейное пространство размерности n над полем комплексных чисел, - линейное преобразование линейного пространства V, - аннулирующий многочлен всего пространства V.

Теорема 1.4 Пусть и , тогда линейное пространство V представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств , где и .

Доказательство. Подпространство является ядром линейного преобразования и по свойству 7.4 инвариантно относительно . Аналогично доказывается инвариантность подпространства .

Поскольку , то найдутся многочлены и , для которых . Подставив в данное равенство вместо переменной линейное преобразование , получим . Таким образом, для любого вектора x из V справедливо равенство . Вектор принадлежит , так как . Аналогично, вектор принадлежит . Тем самым показано, что пространство V является суммой подпространств и .

Для доказательства теоремы осталось показать, что пересечение подпространств и состоит из одного нулевого вектора. Действительно, пусть . Тогда и , а, значит, .

Следствие 1.4 Если в условиях теоремы 1.1 - минимальный аннулирующий многочлен пространства, то - минимальный аннулирующий многочлен , а - минимальный аннулирующий многочлен

Доказательство. Пусть - минимальный аннулирующий многочлен подпространства , а - минимальный аннулирующий многочлен подпространства . Поскольку V - прямая сумма инвариантных подпространств , то . По определению минимального аннулирующего многочлена и , следовательно, и .

Следствие 1.5. Пусть - аннулирующий многочлен пространства, разложенный в произведение неприводимых множителей. Тогда линейное пространство представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств , где . Если - минимальный аннулирующий многочлен, то - минимальный аннулирующий многочлен .

Доказательство очевидно.

Следствие 1.6. Пусть V – линейное пространство над полем комплексных чисел, - минимальный аннулирующий многочлен V. Тогда линейное пространство представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств , где и - минимальный аннулирующий многочлен .

Доказательство очевидно.

1.3Корневые подпространства.

Ядро линейного преобразования назовем корневым подпространством высоты k и обозначим через . Корневое подпространство отлично от нулевого вектора, только если является корнем характеристического многочлена. Линейное пространство над полем комплексных чисел расщепляется в прямую сумму корневых подпространств (Следствие 1 .6). В дальнейшем, рассмотрим возможность дальнейшего расщепления корневых подпространств в прямую сумму инвариантных подпространств. Будем говорить, что вектор имеет высоту k, если . Приведем ряд свойств корневых подпространств.

Свойство 1.4.

Доказательство очевидно.

Свойство 1.5. Если , то .

Доказательство. Если , то , и, значит , что равносильно включению . Тем самым установлено включение , объединив которое с обратным включением (Свойство 1 .4) выводим требуемое утверждение.

Минимальный аннулирующий многочлен корневого пространства является делителем многочлена , и, значит, равен , где . Из определения корневого подпространства вытекает равенство .

Свойство 1.6. Если размерность корневого подпространства равна степени минимального многочлена этого подпространства, то корневое подпространство не представимо в виде прямой суммы инвариантных подпространств меньших размерностей.

Доказательство. Пусть k – степень минимального многочлена корневого подпространства и корневое подпространство представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств меньших размерностей. Пусть - базис , а базис . Система векторов является базисом и, значит, минимальный аннулирующий многочлен пространства равен наименьшему общему кратному минимальных аннулирующих многочленов этих векторов. Следовательно, среди векторов найдется такой вектор, минимальный аннулирующий многочлен которого равен . Не нарушая общности можно считать, что это вектор . Система векторов линейно независима и принадлежит в силу инвариантности подпространства. Поскольку в построенной системе k векторов, то размерность не меньше k, что противоречит допущению.