124. Доведіть, що точна верхня грань рахункового числа рахункових ордіналов лічильна.

Як же розмірковувати про ордіналах, не впадаючи в проти ¬ воречие? В принципі можна замінювати твердження про ордіналах твердженнями про їх представників і вос ¬ приймати згадки ордіналов як «вільність мови». Інший підхід (запропонований фон Нейманом) застосо ¬ ється при аксіоматичному побудові теорії множин, і складається він приблизно в наступному: ми оголошуємо ка ¬ ждий ордінала рівним безлічі всіх менших Ордіна ¬ лов. Тоді мінімальний ордінала 0 (порядковий тип пу ¬ стого безлічі) буде порожнім безліччю 0, слідую ¬ щий за ним ордінала 1 (порядковий тип одноелементні множини) буде {0} = {0}, потім 2 = {0,1} = {0 , {0}}, 3 = {0,1,2} = {0 {0} {0 {0}}}, 4 = {0,1,2,3} і т. д. За ними слід ордінала ш (порядковий тип безлічі на-

{}

{} {

}

Ми не будемо говорити докладно про аксіоматічес ¬ кою теорії множин Цермело - Френкеля, але два об ¬ стоятельства слід мати на увазі. По-перше, в ній немає жодних об'єктів, крім множин, і є Аксі ¬ ома екстенсіональності (або об'ємності), яка говорить, що два об'єкти, що містять одні й ті ж еле ¬ менти, рівні. Тому існує лише один об'єкт, який не містить елементів (порожня множина). По-дру ¬ рих, в ній є аксіома фундування, яка говорить, що ставлення € фундована: у всякому безлічі X є елемент, який є ^-мінімальним, тобто еле ¬ мент ж € X, для якого X П х = 0. Звідси випливає, що ніяке безліч х не може бути своїм елементів ¬ том (інакше для безлічі {ж} порушувалася б аксіома фундування).

125. Виведіть з аксіоми фундування, що не суще-

ствует множин х, у, г, для яких х € у € г € х.

Філософськи налаштований математик пояснив би сенс аксіоми фундування так: безлічі будуються з раніше побудованих множин, починаючи з порожнього, і тому можлива індукція з побудови (доводячи будь властивість множин, можна міркувати ін ¬ дуктівно і припускати, що воно вірне для всіх його елементів ).

Тепер можна визначити ордінали так. Будемо го ¬ воріть, що безліч ж транзитивно, якщо всякий еле ¬ мент безлічі ж є підмножиною множини ж, тобто якщо з м € у € ж слід г € ж. Назвемо ор ¬ діналом транзитивне безліч, всякий елемент кото ¬ рого транзітіва. Ця вимога гарантує, що на

€

гим) частковим порядком.

Аксіома фундування гарантує, що частковий €

Після цього по індукції можна довести, що він явля ¬ ється лінійним (і, отже, повним).

126. (А) Використовуючи визначення ордінала як транзитів-

ного безлічі з транзитивними елементами, доведіть, що

елемент ордінала є ордінала, (б) Нехай а - ордінала (в

сенсі даного нами визначення). Доведіть, що ставлення-

€

€

€ € використовуйте подвійну індукцію по фундованою отноше ¬ ня € на а, а також аксіому екстенсіональності.) (Г) Дока ¬ житі, що один ордінала ізоморфний власним початково ¬ му відрізку іншого тоді і тільки тоді, коли є його елементом. (Таким чином, відношення <на ордіналах як упорядкованих множинах збігається з відношенням принад ¬ лежності.) Доведіть, що кожен ордінала є безлі ¬ ством всіх менших його ордіналов.

Зауважимо ще, що якщо кожен ордінала є мно ¬ дружність всіх менших його ордіналов, то точна верхня грань безлічі ордіналов є їх об'єднання.

Ми не будемо докладно розвивати цей підхід і як і раніше будемо наївно уявляти собі ордінали як порядкові типи цілком упорядкованих множин.

Перш ніж перейти до додавання і множення ординар ¬ лів, відзначимо таку властивість:

Теорема 37. Нехай А - підмножина цілком упо ¬ рядкування безлічі В. Тоді порядковий тип безлі ¬ ства А не перевершує порядкового типу безлічі В.

<Відзначимо відразу ж, що рівність можливо, навіть якщо А є власним підмножиною В. Напри ¬ заходів, парні натуральні числа мають той же порядку ¬ вий тип ш, що і всі натуральні числа.

Міркуючи від противного, припустимо, що поряд ¬ ковий тип безлічі А більше. Тоді В ізоморфно не ¬ якому початковому відрізку безлічі А, не збігаючись ¬ ющему з усім А. Нехай оо - верхня межа (в А) цього відрізка, а /: В - А - відповідний ізомор ¬ фізм. Тоді / строго зростає і тому / (&) ^ Ь для всіх Ь € В (теорема 17). Зокрема, / (а0)> а0, але за припущенням будь-яке значення / (Ь) менше пекло - проти ¬ воречие. >