1.3.2. Вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей

При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей — для результатов и их погрешностей. В табл. 1.5 приведены пошаговые вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей по той же формуле, что и в примере 1.19, и в предположении, что исходные данные а и b имеют предельные абсолютные погрешности а = b = 0,0005 (т.е. у а и b все цифры верны в строгом смысле).

Промежуточные результаты вносятся в таблицу после округления до одной запасной цифры (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности); значения погрешностей для удобства округляются (с возрастанием!) до двух значащих цифр. Проследим ход вычислений на одном этапе (см. табл. 1.5).

Таблица 1.5

Используя калькулятор, имеем е^2,156 = 8,63652. Подсчитаем предельную абсолютную погрешность (см. табл. 1.3): (е^2,156 0,0005) = 0,0043182 = 0,0044. Судя по ее величине, в полученном значении экспоненты в строгом смысле верны два знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой: е^2,156 = 8,63 7 (запасная цифра выделена) и вносим его в таблицу. Вслед за этим вычисляем полную погрешность полученного результата (погрешность действия плюс погрешность округления: 0,0044 + 0,00048 = 0,0049), которую также вносим в таблицу. Все последующие действия выполняем аналогично с применением соответствующих формул для предельных абсолютных погрешностей.

Округляя окончательный результат до последней верной в строгом смысле цифры, а также округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем: A = 8,7 ±0,1.

Рассмотрим, например, как можно получить итоговую оценку предельной погрешности результата вычислений на МК по формуле с использованием предельной относительной погрешности.

Пример 1.20. Значения а = 23,1 и b = 5,24 даны цифрами, верными в строгом смысле. Вычислить значение выражения .

С помощью МК получаем B = 0,2921247. Используя формулы относительных погрешностей частного и произведения, запишем:

1 Когда точность исходных данных такова, что все они имеют десятичные знаки после запятой, т.е. являются десятичными дробями, правило формулируется более доступно: при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует считать верными столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом знаков после запятой. Количество десятичных знаков после запятой перед выполнением действия целесообразно уравнивать, округляя до одной запасной исходные данные с большим количеством десятичных знаков.