1.7.3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте.

Вышеперечисленные свойства верхних и нижних сумм позволяют доказать теорему об интегрируемости функции на сегменте.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S - s  .

Не будем приводить доказательство этой теоремы, отметим лишь, что из неравенства S - s   следует равенство = = I, что в силу замечания 2 гарантирует существование предела интегральных сумм , равного I.

Определение. Число _i = M_i - m_i , где M_i и m_i - точные верхняя и нижняя грани функции f(x) на [x_i-1,x_i] называются колебанием функции f(x) на сегменте [x_i-1,x_i]. Очевидно, что _i ≥ 0, ибо M_i  m_i .

После введенного определения колебания функции f(x) разность

(так как все _i 0 и х_i >0) и последнюю теорему можно сформулировать так:

Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируема на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для нашлось такое разбиение Т сегмента, для которого

.

1.7.4. Равномерная непрерывность функции на множестве.

Пусть функция f(x) (непрерывна на множестве ; - множество замкнуто или нет, конечно или бесконечно), т.е. она непрерывна в каждой точке этого промежутка х₀  . Это означает, что

Отметим, что для фиксированного  число  зависит не только от , но и от точки х0. Существует ли при заданном  такое , которое годилось бы для всех точек х0 из этого промежутка?

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на , если для можно указать такое положительное число  (=()), зависящее только от , что для любых двух точек и множества , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

.

Пример 1. y=lnx равномерно непрерывна на полупрямой x  1. В самом деле, по теореме Лагранжа для любых (пусть для определенности < ).

, ибо << и >1

Следовательно, по данному >0, если выбрать 0< , то из

Пример 2. Функция f(x)= на интервале (0,1) непрерывна, но не является на нем равномерно непрерывной, т.е. для некоторого >0 нельзя выбрать >0 такое, что неравенство будет выполнено для всех и при условии, что .

Покажем это. Пусть >0, = , = , тогда , а величина может быть сделана сколь угодно большой.

Для непрерывной на сегменте функции справедлива следующая теорема.

Теорема (Кантора). Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) равномерно непрерывна на этом сегменте.

Теперь, с очевидностью, вытекает следствие: пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда такое, что на каждом, принадлежащем сегменту [a,b] частичном сегменте [c,d], длина d-c которого меньше , колебание  функции f(x) меньше . Сформулируем и докажем следующую основную теорему.

Теорема. Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

Пусть дано . Так как f(x) равномерно непрерывна на сегменте [a,b] (теорема Кантора), то для положительного числа можно указать такое >0, что при разбиении Т сегмента [a,b] на частичные сегменты [x_i-1,x_i], длина максимального из которых <, колебание _i функции f(x) на каждом из них меньше (следствие из теоремы Кантора). Тогда для таких разбиений Т и выполняется достаточное условие интегрируемости функции f(x).

Замечание. Если f(x) имеет на [a,b] конечное число точек разрыва 1-го рода, то функция f(x) также интегрируема на этом сегменте. При этом, если, например, f(x) разрывна в одной точке x=c, то , и значение этих интегралов не зависит от значения функции в точке с.