3.6. Предельная скорость движения газа, число Маха, приведенная скорость

Рассмотрим истечение газа из сосуда, внутри которого все параметры газа заторможенные, т.к. w=0. В соответствии с (3.23)

или

Нетрудно убедиться, что максимальная скорость газа на срезе сопла будет в том случае, кода энтальпия газа в движущемся потоке станет равной нулю (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Схема течения газа в сопле

Это может быть в том случае, когда температура газа в потоке снизится до нуля, т.е. когда вся энтальпия газа полностью преобразуется в кинетическую энергию

Отсюда можно найти значение максимальной скорости газа

(3.29)

Для воздуха в предположении, что С_P=соnst, формула (3.29) дает

где С_P=1005 Дж/кг К.

Если температура торможения воздуха в сосуде близка к нормальной (Т^*≈300К), то максимально возможная скорость истечения w_maх=776 м/с.

Увеличение максимальной скорости истечения может быть достигнуто только за счет увеличения температуры торможения. Обратим внимание на то, что давление в баллоне в этом случае не влияет на максимальную скорость истечения. Объяснение этому явлению будет дано ниже.

Чтобы перевести газ из состояния покоя в движение, нужно израсходовать часть энтальпии:

или

Разделим правую и левую часть последнего уравнения на температуру газа в потоке

Умножим числитель и знаменатель правой части на kR

(3.30)

Преобразуем выражение KR/2C_P, для чего используем известные соотношения термодинамики: C_PC_VR и C_P/C_VK

Учитывая, что скорость звука

выражение (3.30) приведем к виду

Так как число Маха равно w/а, получим

И окончательно

(3.31)

Отсюда следует, что максимальное значение числа М (при T=0) равно бесконечности. Этот факт объясняется тем, что при достижении максимальной скорости вместе с абсолютной температурой обращается в ноль и скорость звука.

Поскольку скорость движения газа может быть как выше, так и ниже скорости звука, существует режим, при котором скорость потока равна скорости звука. В этом случае М=1 этот режим называется критическим всем параметрам газа при этом режиме присваивается нижний индекс "кр."

Из (3.31) можно получить выражение для критической температуры (М=1)

(3.32)

Из (3.32) следует, что для того чтобы газ разогнать до скорости звука, его температура должна понизиться в (2/к+1) раз. Для воздуха к=1,4 и (2/к+1) =0,833. Если температура торможения газа в баллоне Т*=1000К, то когда он разгонится до скорости звука, его температура станет 833К.

Скорость звука с (3.32) при критическом режиме течения равна

(3.33)

где а* скорость звука в покоящемся газе.

Запишем снова уравнение энергии в виде

(3.34)

Разделим правую и левую часть (3.34) назначение энтальпии при критическом режиме:

или

(3.35)

Далее, используя соотношения C_PC_R и C_P/C_к, выразим в левой части (3.35) Т_кр через Т^* в соответствии с (3.32). Тогда получим:

или

(3.36)

Помимо числа Mw/a в авиационной технике используется так называемая приведенная скорость , которая равна отношению скорости потока к критической скорости звука

Используя это соотношение, уравнение (3.36) можно привести к виду

(3.37)

На критическом режиме _кр=М_кр=1. Максимальной скорости потока соответствует максимальное значение приведенной скорости

Для воздуха к=1,4; _max=2,45.

Связь между М и  описывается соотношениями:

(3.38)

В газовой динамике, теории лопаточных машин и реактивных двигателей используется оба безразмерных критерия М и  В одних случаях более простые соотношения получаются при использовании приведенной скорости, в других  числа М.