Формула Пуассона

Если вероятность p наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний n, но при небольшой величине произведения np получаемые по локальной теореме Лапласа значения вероятности P_n(k) оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле для таких случаев.

Теорема.

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний n достаточно велико, но произведение np =  остается небольшим (не больше 10), то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно k раз

(погрешность не превосходит np²)

Это формула Пуассона.

Примеры решения задания 7

Пример 1

С базы в магазин отправлено 2000 тщательно упакованных доброкачественных фарфоровых тарелок. Вероятность того, что изделие повредится при транспортировке, равна 0,0005. Найти вероятность того, что в магазин прибудут 5 испорченных тарелок.

Решение. Событие А – прибыла испорченная тарелка. Вероятность этого события p = 0,0005. Всего тарелок n = 2000. Так как число тарелок велико, а вероятность выполнения события А мала, причем n p = 2000 ∙ 0,0005 = 1 < 10, то для отыскания искомого значения вероятности воспользуемся формулой Пуассона.

.

По условию n = 2000, p = 0,0005, , m = 5.

.

Ответ: вероятность того, что из 2000 отправленных тарелок испортится 5 штук, равна 0,0031.

Пример 2

Вероятность того, что пассажир опаздывает к отправлению поезду, равна 0,05. Найти вероятность того, что из 200 пассажиров не менее трех опоздает к поезду.

Решение. Событие А – пассажир к поезду опоздал. Вероятность этого события равна p = 0,05. Всего пассажиров n = 200. Так как число пассажиров достаточно велико (n > 100), а вероятность события А достаточно мала, причем n p = 200 ∙ 0,05 = 10, то для определения вероятности события B – к поезду опоздает не менее трех пассажиров воспользуемся формулой Пуассона.

.

Вычислим вероятность противоположного события , т.е. вероятность того, что к отправлению поезда опоздает менее трех пассажиров. Это событие состоит из трех несовместных событий: В₁ – к отправлению поезда никто не опоздает; В₂ – к отправлению опоздает один пассажир; В₃ – к отправлению опоздает два пассажира.

.

По условию n = 200, p = 0,05, .

.

Ответ: вероятность того, что к отправлению поезда опоздает не менее трех пассажиров, равна 0,997.

Дискретные случайные величины

Под случайной величиной понимают переменную, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Конкретное значение случайной величины называется возможным значением.

Определение. Случайной величиной X называется функция, заданная на множестве элементарных исходов (или в пространстве элементарных событий), т.е.

X = f(ω),

где ω – элементарный исход (или элементарное событие).

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно, или бесконечно, но счетно.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан таблично, аналитически или графически.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), которая определяет вероятность того, что случайная величина X примет значения меньше, чем x:

F(X) = P(X < x).

К основным числовым характеристикам дискретной случайной величины отнесем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание дискретной случайной величины определим по формуле:

где x_i – возможные значения;

p_i – соответствующие им вероятности.

Дисперсия дискретной случайной величины находится по формуле:

Среднее квадратическое отклонение:

Примеры решения задания 8

Пример 1

Монета бросается наудачу три раза. Случайная величина X – число выпадений решки. Для заданной случайной величины X найти:

а) закон распределения;

б) математическое ожидание;

в) дисперсию.

Решение. При одном бросании монеты решка выпадает с вероятностью 0,5. Бросания производятся независимо друг от друга, поэтому случайная величина X имеет биномиальный закон распределения: .

Случайная величина X принимает возможные значения 0,1,2 или 3.

Итак, по условию задачи имеем: n = 3, p = 0,5; q = 0,5; k = 0, 1, 2 или 3.

.

.

.

.

Закон распределения случайной величины X имеет вид:

xi	0	1	2	3
pi	0,125	0,375	0,375	0,125

Проверим правильность составления закона:

Найдем математическое ожидание дискретной случайной величины.

.

Определяем величину дисперсии:

,

.

Поскольку в данном случае дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения, то можно было воспользоваться формулами:

- для математического ожидания

;

- для дисперсии

.

Пример 2

С завода в магазин поступила партия фарфоровых статуэток в количестве двадцати штук, из которых две – с дефектом. Продавец выбрал три статуэтки. Случайная величина X – число стандартных фигурок среди отобранных.

Для случайной величины X составить:

а) закон распределения;

б) математическое ожидание;

в) дисперсию.

Решение. Случайная величина X – число стандартных фигурок среди трех отобранных – может принимать следующие значения: 1, 2 или 3. Случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, для которого справедливо следующее:

,

где N – число статуэток в партии,

n – число стандартных статуэток в партии,

k – число стандартных статуэток среди отобранных,

m – число отобранных фигурок.

По условию задачи N = 20; n = 20 – 2 = 18; m = 3; k = 1, 2 или 3. Определим искомые вероятности.

;

;

.

Искомый закон распределения имеет вид:

xi	1	2	3
pi

Проверка: .

Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

.

.

Так как случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, то математическое ожидание и дисперсия могут быть найдены по формулам:

;

.

Пример 3

Производится два независимых опыта, в каждом из которых с равной вероятностью может быть получено любое из чисел 0, 1, 2, 3. Случайная величина X – произведение двух полученных чисел.

Для заданной случайной величины требуется:

а) составить закон распределения;

б) вычислить математическое ожидание;

в) вычислить дисперсию.

Решение. Определим возможные значения случайной величины X с помощью следующей таблицы.

	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	4	6
3	0	3	6	9

С помощью построенной таблицы можно определить не только возможные значения, но и вероятности получения заданных значений. Всего возможно 16 вариантов выпадения чисел. Среди них ноль встречается 7 раз, единица – 1 раз, двойка – 2 раза, тройка – 2 раза, четверка – 1 раз, шестерка – 2 раза, девятка – 1 раз. Поэтому вероятности получения нуля - , единицы - , двойки - , тройки - , четверки - , шестерки - , девятки - . Поэтому закон распределения случайной величины X имеет вид:

xi	0	1	2	3	4	6	9
pi

Проверка: .

Математическое ожидание:

Дисперсия:

.

Пример 4

В часовую мастерскую для ремонта поступили 10 часов, среди них 6 штук нуждаются в общей чистке механизма, а остальные в других видах ремонта. Часовщик ищет часы, нуждающиеся в общей чистке механизма, откладывая часы после осмотра. Случайная величина X – число просмотренных часов.

Для случайной величины X составить закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Опыт состоит в просмотре часов. Если выбранные часы нуждаются в общей чистке механизма, то эксперимент заканчивается. Поэтому возможное число просмотренных часов равно 1, 2, 3, 4 или 5.

Если первые выбранные часы нуждаются в общей чистке механизма, то вероятность этого события равна .

Просмотреть двое часов можно в том случае, если первые выбранные часы требуют другого вида ремонта, а вторые – нуждаются в общей чистке механизма. Вероятность такого события равна .

Просмотреть три пары часов можно в том случае, если первые требуют другого вида ремонта, вторые – тоже требуют другого вида ремонта, а третьи нуждаются в общей чистке механизма. Вероятность такого события .

Аналогично, для возможного значения 4.

.

А также для возможного значения 5

.

Закон распределения случайной величины X:

xi	1	2	3	4	5
pi

Проверка:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

.

Пример 5

Производится проверка двух независимо работающих приборов. Вероятность того, что в течение часа прибор не потребует внимания испытателя, равна 0,4 для первого и 0,2 для второго экземпляра. Случайная величина X – число приборов, которые не потребуют внимания испытателя.

Для данной случайной величины X составить закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Событие А₁ – первый прибор не потребовал внимания испытателя; А₂ – второй прибор не потребовал внимания испытателя.

P(A₁) = p₁ = 0,4; ;

P(A₂) = p₂ = 0,2; .

Так как в результате испытания потребовать внимания могут один, два прибора или ни одного, то случайная величина X может принимать значения 0, 1 или 2.

Найдем вероятности возможных значений.

;

;

.

Закон распределения случайной величины X.

xi	0	1	2
pi	0,08	0,44	0,48

Проверка: .

Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

.

Примеры решения задания 9

Пример 1

Дискретная случайная величина X может принимать только два значения x₁ и x₂, причем x₁ < x₂. Известны вероятность p₁ = 0,1 возможного значения x₁, математическое ожидание M(X) = 3,9, дисперсия D(X) = 0,09.

Найти:

а) неизвестные x₁, x₂, p₂;

б) функцию распределения случайной величины.

Построить график F(x).

Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины X равна единице, поэтому вероятность p₂ того, что случайная величина X примет значение x₂, равна

p₂ = 1 – p₁ = 1 – 0,1 = 0,9.

Запишем закон распределения случайной величины X

xi	x1	x2
pi	0,1	0,9

Используя условия задачи: значения математического ожидания и дисперсии, для отыскания x₁ и x₂ составим два уравнения.

Решим полученную систему.

По условию x₁ < x₂, поэтому условию задачи удовлетворяет только первое решение. Таким образом, искомый закон распределения случайной величины X имеет вид:

xi	3	4
pi	0,1	0,9

Составим функцию распределения:

а) если x ≤ 3, то F(x) = P(X < x) = 0;

б) если 3 < x ≤ 4, то F(x) = P(X < x) = P(X = 3) = 0,1;

в) если x > 4, то F(x) = P(X < x) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,1 + 0,9 = 1.

Таким образом, функция распределения имеет вид:

.

График функции распределения представлен на рис. 1.

Рис.1. Функция распределения

Пример 2

Число продаваемых в магазине холодильных камер - случайная величина, заданная следующим законом распределения:

xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,2	0,1	p3	0,3	0,1	0,2

а)найти p₃;

б)найти вероятность того, что завтра число проданных холодильников будет от 1 до 3 включительно;

в)составить функцию распределения числа холодильников, продаваемых ежедневно.

Построить функцию распределения F(x).

Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины X равна единице, поэтому вероятность

p₃ = 1 – (0,2 + 0,1 + 0,3 + 0,1 + 0,2) = 0,1.

Найдем вероятность того, число проданных холодильников от 1 до 3 включительно:

P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,1 + 0,1 + 0,3 = = 0,5.

Найдем функцию распределения.

а) x ≤ 0

F(x) = P(X < x) = 0

б) 0 < x ≤ 1

F(x) = P(X = 0) = 0,2

в) 1 < x ≤ 2

F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,2 + 0,1 = 0,3

г) 2 < x ≤ 3

F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,2+0,1+0,1 = 0,4

д) 3 < x ≤ 4

F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,2+0,1+0,1+0,3 = 0,7

е) 4 < x ≤ 5

F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,3 + 0,1 = 0,8

ж) x > 5

F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,3 + 0,1 + 0,2 = 1

Таким образом, функция распределения имеет вид:

График функции распределения представлен на рис. 2.

Рис. 2. Функция распределения