6.3. Интегралы типа

Поверхностный взгляд на подынтегральные функции данной группы вызывает очевидные ассоциации с формулами и . Вспомним, что:

Рассмотрим для примера решение интеграла . Для него подходит первая из этих формул. В результате такого преобразования решением этого интеграла будет

.

Аналогично решаются и остальные интегралы.

Пример 17.

Рецепт. Применив одну из ранее приведённых формул, получаем решение:

.

6.4. Интегралы типа

Такого рода интегралы сводятся к табличным интегралам простой подстановкой: для первого интеграла и - для второго.

Пример 18.

Рецепт. Используем замену и получаем решение = . После обратной подстановки получаем решение: .

Пример 19.

Рецепт. Ранее был рассмотрен интеграл , поэтому данный интеграл решаем рассмотренным ранее методом «по частям»:

Нетрудно заметить, что мы снова имеем рекурсию. Отсюда искомый интеграл

6.5. Интегралы типа .

К таким интегралам наиболее эффективно (а зачастую – единственным образом) применение описанной выше «универсальной подстановки»:

Вспомним, что , , и (см. стр. 16) . Тогда интеграл примет вид: = = = .

В зависимости от конкретного сочетания значений коэффициентов получаем два основных исхода (с вариациями):

1. см. Пример 4.

2. . Этот случай, в свою очередь, распадается в зависимости от знака дискриминанта знаменателя = на два варианта:

2А: ─ см. Пример 3;

2Б: ─ см. Пример 9.

Рассмотрим конкретный пример:

Пример 20. .

Рецепт. Здесь , , , = .

Согласно вышеприведённой формуле с использованием универсальной подстановки данный интеграл получает вид = = . Значение дискриминанта . Тогда корни трёхчлена знаменателя вычисляем по формуле = . В соответствии с методом «неопределённых коэффициентов» =

= . Отсюда имеем систему двух линейных уравнений для коэффициентов и : . Тогда и , а = . Обратная подстановка даёт конечный ответ +С.

7. Тригонометрические подстановки

Часто в состав подынтегральных функций входят радикалы трёх видов: , и . В этих случаях применяются соответствующие так называемые «тригонометрические» подстановки:

1. Для - , соответственно.

Рассмотрим применение этой рекомендации на конкретном примере.

Пример 21.

Рецепт. Преобразуем подынтегральную функцию = и замещаем аргумент по одному из двух вариантов (см. выше), например, , тогда . В итоге = = = . Обратная постановка: , = и даёт конечный результат = = + .

2. Для - . Дальше следует решение примера на эту тему.

Пример 22. .

Рецепт. Здесь , поэтому применим вариант замены из двух предложенных выше, например, .

= = . Это уже знакомый интеграл (см. Пример 11), тогда +С. Нетрудно показать, что = = . После обратной подстановки = = .

Итак, имеем конечный результат: +С.

3. Для - . Решим соответствующий пример.

Пример 23. .

Рецепт. Здесь . Согласно рекомендациям выберем, например, вариант . Тогда искомый интеграл = = . Это интеграл, рассмотренный ранее, тогда промежуточное решение имеет вид: +С. Обратная подстановка даёт окончательное решение +С.