Розділ 1 Аналіз рядів розподілу

1. Визначити середній розмір нарахованої заробітної плати працівникам.

2. Визначити моду, медіану

3. Розмах варіації

4. Середнє лінійне відхилення

5. Дисперсію

6. Середнє квадратичне відхилення

7. Коефіцієнт варіації

8. Визначити асиметрію і ексцес

9. Здійснити вирівнювання заданого ряду розподілу за нормальною кривою . За допомогою критеріїв узгодження оцінити ступінь розходження емпіричного і теоретичного розподілів.

Для побудови і аналізу ряду розподілу ( дані форми №1-ПВ місячна та за грудень будь-якого року), слід використати такі вихідні дані

Таблиця 1.1 Дані для побудови ряду розподілу

Нарахована зарплати в розмірі	Чисельність працівників, які повністю відпрацювали місяць
Від до
Від до
Від до
Від до

1.1 Середній розмір заробітної плати обчислюють за допомогою формули середньої арифметичної зваженої:

де х - індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти);

f - частота.

1.2 Мода – це варіанта, що найчастіше повторяється в ряді розподілу. В інтервальному ряді модальним є інтервал, який має найбільшу частоту, а мода визначається за формулою

,

де – нижня межа модального інтервалу; - ширина інтервалу; - частота модального інтервалу; - частота попереднього відносно модального інтервалу; - частота наступного відносно модального інтервалу.

Медіана – варіанта, що ділить ранжирований ряд на дві рівні за чисельністю частини.

В інтервальному ряді розподілу медіанний інтервал розраховується, використовуючи кумулятивні частоти, а конкретне значення медіани обчислюється за формулою:

,

де - нижня межа медіанного інтервалу; h - ширина медіанного інтервалу; S - кумулятивна частота інтервалу, що передує медіанному; f - частота медіанного інтервалу.

Визначити медіану і моду графічним способом, побудувавши гістограму і кумуляту.

3. Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки . В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого .

4. Середнє лінійне відхилення:

3. Дисперсія

3. Середнє квадратичне відхилення:

3. Лінійний коефіцієнт варіації 100%.

4. Квадратичний коефіцієнт варіації 100%.

Дані характеристик розподілу заносимо в таблицю 1.2.

Таблиця 1.2-Дані характеристик рядів розподілу

Межі інтервалу	Середина інтервалу (варіант) x	Чисельність працівників(частота) f	Добуток варіантів на частоти x f	Нагромаджена частота(кумулятивна) S	Відхилення варіантів від середньої -	Добуток відхилення варіантів від середньої на частоти	Квадрат відхилень варіантів від середньої	Добуток квадратів відхилень на частоти
Разом				х	х		х

Найпростішою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною і медіаною чи модою. Порівнюємо значення середньої арифметичної, моди, медіани. Якщо має місце правостороння асиметрія, якщо має місце лівостороння асиметрія.

Напрям і міру скошеності характеризують стандартизоване відхилення, яке визначається найчастіше за формулою:

, або А=

При цьому в симетричному розподілі А=0, при правосторонній асиметрії А> 0, при лівосторонній А< 0.

Скупченість окремих значень ознаки навколо середньої називають ексцесом. Мірою ексцесу є стандартизований

момент ІV порядку

Де - центральний момент 4-го порядку

У симетричному, близькому до нормального розподілі Е=3. При гостровершинному розподілі Е> 3, плоско вершинному Е< 3.

Для порівняння ступеня скошеності (асиметрії) різних розподілів використовують стандартизований момент ІІІ порядку:

Де - центральний момент третього порядку

Вважають, що при А < 0,25 асиметрія слабка, якщо 0,25< А < 0,5 – середня і при А> 0,5 – висока.

Дані розрахунків занести в таблицю і зробити висновки про розподіл працівників за заробітною платою.

Дані розрахунків заносимо в таблицю 1. 3.

Таблиця 1.3 - Дані для розрахунку асиметрії та ексцесу

Межі інтервалу	Середина інтервалу (варіант) x	Чисельність працівників(частота) f

3. Розглянуті вище характеристики дають нам уяву про характер центру розподілу, варіації та форми розподілу. Поглиблюючи аналіз, можна описати закономірність співвідношення варіант і частот певною функцією, яку називають теоретичною кривою. Серед множини кривих розподілу найпоширенішою виявилась нормальна крива. Вона застосовується як стандарт, з яким порівнюють інші розподіли.

Частоти , які відповідають теоретичній кривій називаються теоретичними. Для нормального розподілу їх визначають за формулою:

де n - обсяг сукупності ;

- інтегральна функція розподілу .

Функція ґрунтується на стандартизованих відхиленнях :

де - верхня межа інтервалу.

Функція табульована. Для додатніх t значення беремо безпосередньо з таблиць . При від’ємних значеннях t функція становить . Значення функції нормального розподілу наведені в додатку А.

Між теоретичними і емпіричними частотами є певні відхилення. Вони можуть мати випадковий характер або бути наслідком невідповідності теоретичної кривої реальному характеру розподілу. Для оцінки істотності відхилень використовують критерії узгодження. Критерій Пірсона обчислюємо за формулою:

Значення порівнюються з критичним для імовірності 1- і числа ступенів вільності -1, де m - число груп; r - число параметрів функції.

Критичне значення - це максимально можливе . Якщо фактичне значення перевищує критичне > , то відхилення між емпіричними і теоретичними частотами слід вважати істотним. У випадку, коли < істотність відхилення вважається недоказаною. Критичні значення наведені в додатку Б.

Побудувати лінійну діаграму теоретичних і емпіричних частот.

Наведемо приклад аналізу ряду розподілу працівників за заробітною платою.

Дані по заробітній платі за 2003 рік

Групи працюючих за розміром заробітної плати, грн.	Чисельність працюючих, осіб	Частка d%
Від 185 до 370	15	21,43
Від 370 до 555	33	47,14
Від 555 до 740	15	21.43
Від 740 до 925	5	7,14
Понад 925	2	2,68
Разом	70	100

Для визначення характеристик розподілу використаємо таблицю 1.4

Таблиця 1.4

Групи працюючих за розміром з/пл	Середина інтервалу	Чисельність працюючих, осіб. ,f	Xifi		S	| x-x|f		f
1	2	3	4	5	6	7	8	9
185-370	277,5	15	4162,5	227,286	55	3409,29	51658,925	774883,887
370-555	462,5	33	15262,5	42.286	48	1395,438	1788,105	59007,491
555-740	647,5	15	9712,5	142,714	63	2140,71	20367,285	305509,287
740-925	832,5	5	4162,5	327,714	68	1638,57	107397,46	536982,329
Понад 925	1017,5	2	2035	512,714	70	1025,428	262875,64	525751,292
Разом		70	35335			9609,436		2202134,286

Визначаємо середню арифметичну

= = ;

Медіану Me=X_Me+h* =70+185 =482,121;

моду Мо=Х_Мо+h* =370+185 =462,2;

Обчислюємо розмах варіації:

R= x_max-x_min=1110-185=925

Визначаємо моду і медіану графічним способом

Рисунок. 1.1 - Гістограма. Графічне визначення моди.

Середнє лінійне відхилення

= =

Дисперсія

² =

С ереднє квадратичне відхилення

Рисунок 1.2. – Кумулята. Графічне визначення моди.

 = = =177,37,

Лінійний коефіцієнт варіації

= 100 %=

Квадратичний коефіцієнт варіації

= 100 %= ;