18. Основные законы распределения.

18.1. Биноминальный закон распределения.

Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями , где , , .

Биноминальный закон распределения представляет собой закон распределения числа наступлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону, , а ее дисперсия .

Биноминальный закон распределения используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и др.

Пример. В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения числа мальчиков в семье. Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.

, , ,

xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,0268	0,1425	0,3026	0,3213	0,1706	0,0362

18.2. Закон распределения Пуассона.

Д искретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, …, т, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями , где .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона, т.е. , .

При, , , закон распределения Пуассона является предельным случаем биноминального закона. Так как при этом вероятность наступления события в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

18.3. Геометрическое распределение.

Дискретная случайная величина Х = т имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, т, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями , где , , .

Математическое ожидание случайной величины, имеющей геометрическое распределение с параметром р равно , а ее дисперсия .

18.4. Гипергеометрическое распределение.

Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, 3, …, min (n, M) с вероятностями , где , , ; N, M, n – натуральные числа.

Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина – число объектов, обладающих заданным свойством, среди п объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности N объектов, M из которых обладают следующим свойством.

Гипергеометрическое распределение можно рассматривать как модификацию биноминального распределения для случая конечной совокупности, состоящей из N объектов, М из которых обладают этим свойством.

При функция вероятностей гипергеометрического распределения стремится к соответствующей функции биноминального распределения.

1 8.5. Равномерный закон распределения.

Непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения на отрезке , если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

математическое ожидание , а дисперсия