4.4 Апроксимація

Апроксимація – це інтерполяція, наближена в вузлах, що дозволяє згладити неточності початкових даних, і таким чином, підвищити достовірність одержаної моделі.

Система MathCAD має ряд вбудованих функцій, що дозво-

ляють розв’язати задачу апроксимації. Такими функціями є такі функції:

 сукупність функцій slope та intercept, що дозволяє розв’язати задачі лінійної апроксимації;

 interp – поліноміальна апроксимація;

 linfit – апроксимація лінійною комбінацією функ-

цій;

 genfit – апроксимація нелінійними функціями.

Розглянемо технологію розв’язку задач апроксимації за допомогою перелічених функцій та наведемо приклади.

4.4.1 Лінійна апроксимація

b

a

_{Функції slope та intercept розв’язують задачі лінійної ап-}

роксимації, визначають коефіцієнти a та b функції що подана у вигляді таблиці.

s

Розв’язок має такий вигляд:

y x ,

b :

i

a :

_{де Vx, Vy}

lope(Vx,Vy) ,

nt ercept(Vx,Vy) ,

_{– вектори аргумента та функції відповідно.}

Приклад 14.3 У результаті дослідження були одержані да- ні, які наведені у таблиці 14.3.

_{Таблиця 14.3 – Дані дослідження}

X	1	2	3	4	5	6
Y	0,29	0,44	0,55	0,62	0,67	0,7

Необхідно розв’язати задачу лінійної апроксимації, вико-

ристовуючи функції MathCAD slope та intercept.

Вибір виду функції інтерполяції.

Переконаємося, що функція інтерполяції є лінійною. Ско- ристаємося графоаналітичним методом. На рис. 14.18. наведена

_{залежність}

_{y f ( x) , що побудована за даними таблиці 14.3.}

_{З графіка видно, що функція}

_{y f ( x)}

_{нелінійна і задача}

сформульована так, що необхідні додаткові дії, щоб привести її до лінійного вигляду.

Порівняємо одержаний графік з графіками типових функ- цій і побачимо, що функцією інтерполяції може бути дробово -

b

x

a

_{лінійна}

y /(a

x) _{або степенна}

_{y x} ^d _{. Вони обидві мо-}

жуть бути лінеаризовані та представлені у вигляді таких ліній- них функцій:

b

a

d

c

x

l

Y₁ x ;

Y₂ X , де

Y₁ / y ;

Y₂ n y ;

l

l

X n x ; c n a

Рисунок 14.18 – Графік функції для прикладу 4.3

Значення лінеаризованих аргументів і функцій наведені в таблиці

Таблиця – Таблиця ліниаризованих дробово-лінійної та степеневої функцій

x	1	2	3	4	5	6
y	0.29	0.44	0.55	0.62	0.67	0.7
X	0	0.69	1.1	1.39	1.61	1.79
Y1	3.45	4.55	5.45	6.45	7.46	8.57
Y2	-1.24	-0.82	-0.6	-0.48	-0.4	-0.36

Тепер можна розв’язати задачу лінійної апроксимації за

_{допомогою функцій slope та intercept.}

b

_{Випадок 1. Дробово-лінійна функція y} ^x _.

a x

У цьому випадку лінеаризована функція має вигляд

b

a

^Y₁ ^{x . Тоді розв’язок буде мати вигляд, що зображений}

на рис.

Рисунок– Розв’язок для дробово-лінійної функції ін- терполяції

1

2

_дуть:

Таким чином, коефіцієнтами дробово-лінійної функції бу-

_{a .45;}

b .009_{, а функція інтерполяції буде мати вигляд:}

x

_y ^x

2.5

a

Випадок 2. Степенна функція y x ^d

У цьому випадку лінеаризована функція має вигляд:

d

c

^Y₂ ^{X . Тоді розв’язок буде мати вигляд, що поданий на}

l

0

1

_{рис. 14.20. Але так як c n a , то a e}^c

_e ^.197

_.302 .

a

0

Таким чином, коефіцієнтами степенної функції

_{y x} ^d

0

будуть

a .3;

d .5 , а функція буде мати вигляд

_{y .3}

_x ^0.5

чи y

0

0.3

x .

_{Рисунок– Розв’язок для степенної функції}

Результати табулювання функцій наведені в таблиці 14.5.

Таблиця – Значення результатів лінійної апрокси- мації

x	1	2	3	4	5	6
y	0.29	0.44	0.55	0.62	0.67	0.7
φ1	0.286	0.444	0.545	0.615	0.667	0.706
φ 2	0.3	0.424	0.52	0.6	0.671	0.735

У таблиці введені такі позначення:

 x, y – вхідні значення аргумента та функції;

 φ₁ – значення дробово-лінійної апроксимації;

^{ φ}₂ ^{– значення степенної функції апроксимації.}

Таким чином, видно, що найбільш кращою є дробово- лінійна функція. Похибки обох функцій малі, тому немає потре- би їх розраховувати.