1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению
.
Решение.
Находим частную производную первого порядка по х, считая, что у
постоянная :
.
Использовали формулу производной сложной функции
.
Находим частную производную первого порядка по у, считая, что х
постоянная:
.
Использовали формулу производной сложной функции
.
Находим частную производную второго порядка по у от
,
Считая, что х постоянная:
.
Использовали правило нахождения производной произведения
и формулу производной сложной функции
.
Находим частную производную второго порядка по у от
,
Считая, что х постоянная:
Подставив
,
,
в уравнение
,
получим тождество
,
+
=
,
=
,
0 = 0.
Значит, функция
удовлетворяет уравнению
,
т. е. функция является корнем уравнения
.
2.
Вычислить производную функции
в точке
по направлению
вектора
,
где
.
Решение.
Найдем единичный вектор , имеющий данное направление:
где
и
-
координаты точек
и М
соответственно.
.
Определим
направляющие косинусы вектора
,
для чего найдем модуль вектора
:
,
;
.
Вычислим частные производные функции в точке :
,
.
,
.
Получим:
.
Таким образом,
производная функции
в точке
по направлению
вектора
равна
.
Так как
,
то функция
возрастает по направлению вектора .
3. Найти
градиент функции
в
точке
и наибольшую
скорость изменения функции в этой точке.
Решение.
Для нахождения градиента функции воспользуемся формулой
Находим частную производную первого порядка по х, считая, что у - постоянная:
.
Её значение в точке А (2; 1) равно
.
Находим частную производную первого порядка по у, считая, что х - постоянная:
.
Её значение в точке А (2; 1) равно
.
Следовательно, градиент функции
в точке
А (2; 1) равен
,
т. е.
.
Наибольшую
скорость изменения функции
в
точке А (2;
1) найдем по формуле
.
4.
Исследовать функцию
на экстремум.
Решение.
Критические точки (возможного экстремума) функции двух переменных находятся из системы двух уравнений:
(необходимое условие экстремума функции). Найдем частные производные первого и второго порядка:
,
,
,
,
.
Для нахождения точек возможного экстремума решим систему уравнений
Таким образом,
получили две критические точки
и
.
Исследуем каждую из полученных точек
на экстремум, используя достаточное
условие экстремума:
а) для точки получим:
,
,
.
,
так как
,
то функция имеет экстремум в точке
,
а именно – максимум, т. к.
(достаточное условие экстремума).
б) для точки получим:
,
,
.
,
так как
,
то функция не имеет экстремума в точке
.
5. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции в области решений системы линейных неравенств
