Критерии отказа
Наиболее просто критерий отказа формулируется для простейших дискретных датчиков, у которых входная величина x и выходная у могут принимать лишь одно из двух значений: 0 или 1.
Если исправной работе такого датчика отвечает условие
то отказом считается наступление одного из двух событий - несрабатывания или ложного срабатывания. При этом критерий отказа записывается в виде
Примером подобного устройства служит электромагнитное реле, которое должно замыкать контакты при подаче на его обмотку электрического напряжения. Отказом реле считается несрабатывание при подаче на обмотку напряжения или ложное срабатывание при отсутствии напряжения.
Критерий отказа формулируется иначе, если хотя бы одна из величин х или у является непрерывной. Например, в датчиках типа сигнализаторов входная величина х непрерывна, а выходной сигнал у при исправной работе должен принимать одно из двух значений:
где xзад- заданное значение x.
На первый взгляд здесь можно дать такое же определение отказа, как и для реле, - считать отказом несрабатывание или ложное срабатывание и записать критерий отказа в виде:
Однако при такой трактовке отказа в изготовленной партии сигнализаторов может не оказаться ни одного исправного, так как из-за рассеяния погрешностей срабатывание происходит не строго при х = хзад , а с некоторым отклонением; при этом сигнализаторы могут срабатывать при некотором х1=xзад-δx1 , тогда в интервале x1зад будет происходить ложное срабатывание; если же срабатывание происходит при х2=хзад+δx2, то в интервале хзад<х<х2 будет иметь место несрабатывание. Поэтому в данном случае правильнее формулировать критерий отказа как наступление события
где xсраб - фактическое значение x, при котором срабатывает сигнализатор, Δ - абсолютная величина допустимого отклонения x от xзад в момент срабатывания, имея в виду, что верхняя и нижняя границы поля допуска расположены симметрично, относительно точного значения сигнала.
Для приборов и датчиков, у которых непрерывными являются как х, так и у, отказом следует считать наступление события
(1)
где у - фактическое значение выходного сигнала при подаче навход измеряемой величины х; y0 - значение выходного сигнала, отвечающее действительному значению измеряемой величины х с учетом заданной функции преобразования; δ - половина абсолютной величины поля эксплуатационного допуска на погрешность выходного сигнала.
Неравенство (1) можно представить в безразмерной форме, если разделить все члены неравенства на абсолютную величину диапазона изменения выходного сигнала уд:
(2)
где - приведенная относительная погрешность прибора;
Неравенства (1) и (2), описывающие событие отказа прибора (датчика) с непрерывными сигналами, необходимо дополнить следующими условиями:
а) неравенства (1) и (2) должны рассматриваться при любом уровне входного сигнала, лежащем внутри заданного диапазона измерения;
б) в общем случае величины δ и ε являются заданными функциями х (или у) .
Определение показателей надежности
Статистические исследования надежности различных типов приборов, датчиков и их элементов показывают, что время наступления внезапного отказа является величиной случайной. Поэтому при расчете приборов и датчиков пользуются вероятностными показателями надежности.
Одним из основных показателей, используемых при расчетах надежности, служит вероятность внезапного отказа Qв(t)- Смысл этого понятия иллюстрируется следующим гипотетическим экспериментом. Допустим, в эксплуатации находится партия однотипных приборов в количестве N0. При определенных условиях эксплуатации определяются погрешности всех приборов через малые равные промежутки δt и регистрируются все случаи внезапных отказов. За начало отсчета времени (t=0) принимается начало эксплуатации каждого прибора.
К моменту времени t часть приборов откажет и останется Nt исправных приборов. Относительное число отказавших за время t приборов будет равно
Если увеличивать N0, то в пределе, при , относительное число внезапно отказавших приборов и будет определять вероятность внезапного отказа:
С течением времени количество исправных приборов Nt, находящихся в эксплуатации, уменьшается, следовательно, вероятность отказа Qв(t) увеличивается (рис.). Скорость увеличения Qв(t) характеризуется плотностью вероятности отказов:
(3)
Наряду с понятием вероятности внезапного отказа Qв(t) пользуются вероятностью безотказной работы Pв(t), под которой понимают вероятность того, что в определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной продолжительности t работы прибора (датчика), внезапный отказ не наступает.
Статистически PB(t) определяется как предел отношения числа исправных приборов Nt к общему числу испытуемых приборов при :
С течением времени Рв(t) уменьшается (см рис.). Вероятности Qв(t) и Рв(t) связаны между собой зависимостью
Qв(t)+ Рв(t)=1
(4)
Из выражения (4) с учётом уравнения (3) следует, что скорость изменения вероятности безотказной работы равна плотности вероятности, взятой с обратным знаком
(5)
Следующим важным показателем надежности является интенсивность внезапных отказов λ(t). Статистически интенсивность внезапных отказов определяется отношением числа δN внезапно отказавших приборов за малый промежуток времени δt к величине этого промежутка и к числу приборов Nt, не имеющих внезапных отказов к началу расcматриваемого промежутка времени. Выражение для интенсивности внезапных отказов имеет вид:
(6)
здесь f(t) - плотность вероятности внезапных отказов, Pв(t) - вероятность безотказной работы.
Если в выражении (6) заменить согласно (5)
то
(7)
Интегрируя обе части выражения (7) в пределах от 0 до t и учитывая, что Pв(0)=1, находим
Откуда
(8)
Следующий показатель это средняя наработка до отказа. Он может быть определён как математическое ожидание времени отказа:
Заменяя
получим
После интегрирования по частям определяем
(9)
Следовательно, средняя наработка до отказа равна площади, ограниченной кривой вероятности безотказной работы и осью абсцисс (см. предыдущий рис.).
Средняя наработка до отказа tcр функционально связана с интенсивностью внезапных отказов λ(t). Типичная зависимость λ от времени показана на рис.
На начальном отрезке времени от 0 до t1 обычно имеет место участок приработки, во время которого отказывают дефектные элементы, в связи с чем интенсивность внезапных отказов сравнительно высока; затем интенсивность внезапных отказов уменьшается и сохраняет примерно постоянную величину на отрезке времени от t1 до t2; при t>t2 начинается период повышенной интенсивности отказов из-за выработки элементами своего ресурса.
Таким образом, при средней вероятности отказа элементов технологический процесс следует строить таким образом, чтобы все элементы, входящие в приборы и датчики, проходили период приработки на заводе-изготовителе до выпуска их в эксплуатацию, при этом гарантийный срок службы таких приборов и датчиков не должен превышает интервала нормальной работы: tгар2-t1. Это позволяет при расчетах надежности приборов и датчиков считать λ(t) =const = λ. Такой частью технологического процесса, позволяющей приработать детали и элементы изделия на заводе является прогон. Однако в случае использования элементов с высокой надёжностью и обеспечения необходимого количества контрольных операций при сборке прогон изделий не требуется. Так японские и иные импортные телевизоры прогон не проходят.
На основании формул (4), (8) и (9) нетрудно получить зависимости связывающие Qв(t), Pв(t) и tср при λ(t)=const=λ:
(10)
Разлагая Pв(t) в ряд получим
Если λt<<1, то приближённо
(11)
Формулы (10) и (11) характеризуют экспоненциальный закон распределения плотности вероятности внезапных отказов. Плотность вероятности согласно (6) равна
Следовательно, при λ(t)=λ плотность вероятности f(t) так же как и вероятность Pв(t), изменяется по экспоненциальному закону:
На практике встречаются и другие законы распределения плотности вероятности, но наиболее типичным является экспоненциальный закон
именно в связи с этим указанный закон положен в основу общепринятой методики расчёта вероятности внезапных отказов. Поэтому расчёт вероятности внезапных отказов и вероятности безотказной работы производят по формулам (10) и (11).