§ 5. Безударное сжатие газа. Движение с однородной деформацией.

Задача о поршне, несмотря на относительную простоту, находит применение во многих проблемах, связанных с быстропротекающими процессами в сжимаемых средах. Так, например, движение среды, возникающее при взрыве, можно приближенно описывать, моделируя границу области, занятой продуктами взрыва, расширяющимся поршнем. Изучение установившегося гиперзвукового обтекания летательных аппаратов и других тонких тел с использованием «закона плоских сечений» [Ильюшин, Черный] сводится к рассмотрению нестационарного течения газа, вызванного расширяющимся цилиндрическим поршнем.

Проблема осуществления быстрого и сильного сжатия некоторого материального объема также может рассматриваться с использованием решения газодинамической задачи о поршне. Подобные задачи актуальны, например, в связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза. Для того, чтобы инициировать реакцию синтеза ядер, нужно сжать термоядерную «мишень» до очень высоких значений плотности при температуре в несколько миллионов градусов.

Конечно, в указанных проблемах следует рассматривать сферический, цилиндрический или, вообще, неодномерный поршень. Для простоты, мы ограничимся изучением лишь задачи о плоском поршне. Следует отметить, однако, что многие качественные выводы могут быть перенесены с этого простейшего частного случая на более общие.

Рассмотрим задачу о плоском поршне, который движется с нулевой начальной скоростью в сторону области, занятой однородным покоящимся газом. Исследуем случай, когда момент наступления градиентной катастрофы отличен от начального t₀=0 .

Как и для выдвигающегося из газа поршня, возникающее течение представляет собой простую волну (3.2). Однако теперь это будет волна сжатия (а не разрежения), в которой прямолинейные характеристики семейства C₊ образуют сходящийся веер.

В случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями решение строится точно так же, как и в предыдущем параграфе: конкретный вид функции f(v) из (3.2) определяется законом движения поршня x_П=x_П(t) .

Если провести огибающую L семейства прямолинейных C₊- характеристик в плоскости (x; t) , то момент образования ударной волны (момент наступления градиентной катастрофы) можно определить как минимальное значение t-координаты точек на этой огибающей. Месту зарождения ударной волны отвечает координата точки на линии L с минимальной t-координатой (рис. ) [Черный; Ландау, Лифшиц].

Начиная с момента , течение газа становится разрывным. Отметим, что траектория фронта УВ в (x;t)-плоскости (на рисунке не показана) располагается правее огибающей L , а C₊- характеристики, лежащие слева от этой траектории, уже не являются прямолинейными (течение за УВ уже не есть волна Римана).

Особый интерес представляет случай, когда точка ( ; ) расположена непосредственно на характеристике OA , которая является передним фронтом волны Римана.

В этом случае имеем мгновенное "превращение" слабого разрыва (каким является фронт ВР) в сильный разрыв – ударную волну. Наглядно такой процесс иллюстрируется графиком зависимости давления p от координаты x в следующие друг за другом моменты времени

(рис. ).

Подбирая нужным образом закон движения поршня x_П(t) , можно добиться сколь угодно сильного сжатия газа в простой волне. Например, ситуации, показанной на рис. , отвечает сжатие в центрированной простой волне (с центром в точке ) до бесконечного давления и бесконечной плотности газа, занимавшего первоначально область .

Здесь мы имеет дело с безударным изоэнтропическим сжатием газа поршня [Овсянников].

Другой интересный пример безударного сжатия конечного объема газа до сколь угодно больших значений плотности и давления может быть описан в классе решений с однородной деформацией. [Седов "Методы подобия"].

В отличие от предыдущего рассмотрения, не будет предполагать постоянства плотности и давления в начальный момент времени.

Движением с однородной деформацией в газовой динамике называют такое течение газа, в котором скорость является в любой момент времени линейной однородной функцией прямоугольных декартовых координат

(5.1)

Тогда тензор скоростей деформаций зависит только от времени и не зависит от координат частицы среды:

Если связь между эйлеровыми и лагранжевыми координатами имеет вид

i = 1, 2, 3, (5.2)

то компоненты скорости определяется из равенств

где – элементы матрицы, обратной к .

Тогда условие (5.1) выполняется, если положить

Рассмотрим частный случай – одномерное движение газа с однородной деформацией. Тогда матрица представима в одной из трех форм

Первый вариант соответствует движению газа с плоскими волнами ( ν=1 ), второй – движению с цилиндрическими волнами ( ν=2 ), третий – движению со сферическими волнами ( ν=3 ).

Закон движения сплошной среды имеет в этом случае вид (x - эйлерова, ξ - лагранжева координата)

(5.3)

а скорость оказывается пропорциональной координате:

(5.4)

Запишем уравнение неразрывности в переменных Лагранжа [Седов]:

Учитывая, что в рассматриваемом случае

получаем

(5.5)

При непрерывном адиабатическом движении совершенного газа с показателем адиабаты γ значение отношения p/ρ^γ в любой частице с течением времени не меняется.

Поэтому давление может быть выражено в виде

(5.6)

Воспользуемся теперь уравнением импульсов (1.2). Сначала преобразуем участвующие в нем слагаемые:

В силу (1.2), получаем равенство

Разделяя переменные, приходим к системе

(5.7)

(5.8)

Интегрируя первое уравнение, получаем

(5.9)

Второе уравнение легко интегрируется, если обе его части умножить на :

(5.10)

Извлекая квадратный корень и интегрируя еще раз, получаем в неявной форме зависимость R(t) :

(5.11)

Найденное частное решение уравнений газовой динамики содержит одну произвольную функцию лагранжевой координаты ρ₀(ξ) и произвольные постоянные: p₀(ξ₀) , C , A , R₀ .

Этим решением может быть описан, например, разлет газового облака в вакуум либо процесс сжатия некоторого объема газа изменяющимся во времени внешним давлением. Первому случаю отвечает условие C < 0, A > 0, а второму - C > 0 .

В частности, если положить ρ₀(ξ)≡ρ₀=const , то согласно (5.9) зависимость давления от координаты будет квадратичной:

При C > 0 давление растет с удалением от центра, а при C < 0 - падает и обращается в нуль, если (этому значению лагранжевой координаты отвечает граница между газом и вакуумом).

Характер движения границы газового объема определяется уравнениями (5.3), (5.11), где нужно положить ξ= ξ_гр. .

При разлете в вакуум скорость движения границы асимптотически (при t → ∞) стремится к постоянному значению Это видно из (5.4), (5.10), поскольку ν(1-γ) < 0 и поэтому при R → ∞ .

Если конечный газовый объем сжимается из состояния покоя растущим во времени внешним давлением ( C > 0 ), то за время

,

где R₀ - корень уравнения =0 , все частицы оказываются в центре x=0 , а плотность и давление обращаются в бесконечность: происходит коллапс газового облака. В момент схлопывания внешнее давление тоже становится бесконечно большим.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черный Г.Г. Газовая динамика. – М.: Наука, 1988.

2. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика (в 10 т.). Т. VI. Гидродинамика. – М.: Наука, 1986.

4. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. – М.: Наука, 1978.

5. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. – М.: Наука, 1987.

6. Галин Г.Я., Голубятников А.Н., Каменярж Я.А. и др. Механика сплошных сред в задачах. В 2-х томах (Под ред. Эглит М.Э.) – М.: «Московский Лицей», 1996.

7. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. – М.: Мир, 1977.

8. Колоколов И.В., Кузнецов Е.А., Мильштейн А.И. и др. Задачи по математическим методам физики. – М.: КомКнига, 2007.

9. Атанов Г.А. Газовая динамика. – К.: Выща шк., 1991.

10. Курант Р., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и ударные волны.-

М.: Изд-во иностранной литературы, 1950.