Завдання № 9

1. Для матриці знайти обернену матрицю : .

2. Знайти розв’язок задачі Коші: ;

3. Знайти проміжки зростання функції : ;

4. Розвинути в ряд Фур’є функцію f(x) з періодом

Розв’язок:

1. Знайдемо транспоновану матрицю алгебраїчних доповнень( , де - це мінор). Тоді: ; ; ;

Зробимо перевірку, перемноживши ці матриці повинна вийти одинична матриця:

;

Відповідь: .

2. Запишемо характеристичне рівняння:

; Тоді ; далі запишемо розв’язок рівняння:

Відповідь: .

2. Функція зростає на проміжку при умові, що похідна цієї функції більша нуля на цьому проміжку, тоді: ; і ;

Звідки ;

;

Відповідь: функція зростає на

4. Оскільки функція кусково-монотонна, то за теоремою Діріхле ряд Фур'є цієї функції в кожній точці збігається до значення

Коефіцієнти ряду Фур'є:

Графік суми ряду Фур'є:

Відповідь:

1. Для матриці знайти обернену матрицю ,

2. Знайти розв’язок задачі Коші

3. Знайти найменше значення функції на відрізку [-1,2]

4. Розвинути в ряд Фур`є функцію f(x) з періодом T=2π

Розв’язок:

1. Знайдемо транспоновану матрицю алгебраїчних доповнень( , де - це мінор). Тоді: ; ; та ;

Зробимо перевірку, перемноживши ці матриці повинна вийти одинична матриця:

Відповідь:

2. Запишемо характеристичне рівняння:

; тоді . Запишемо розв’язок рівняння:

Відповідь: .

3. Щоб знайти найменше значення функції на проміжку достатньо провірити значення функції на кінцях проміжку та в критичних точках, які належать цьому проміжку, тобто в таких токах в яких похідна рівна нулю або не існує, та порівняти значення функції в цих точках. Отже: ; та ; ; Тоді ; Звідси

Відповідь:

4. Оскільки ф-ція Кусково-монотонна, то за теоремою Діріхлє, ряд Фур’є цієї ф-ції в кожній точці збігається до значення

Коефіцієнти ряду Фур’є:

Графік суми ряду Фур’є

Відповідь:

1. Розв’язати систему рівнянь ;

2. На координатній площині XOY зобразити множину точок M(x,y), координати яких задовольняють умовам: ;

3. Знайти найменше значення функції на відрізку [-1,2] ;

4. Розвинути в ряд Фур’є синусами f(x) з періодом

Розв’язок:

1.

Помножимо рівняння (2) на 2 отримаємо:

Віднімемо отримані рівняння:

Відповідь:

2.

Відповідь:

3. Тоді

Відповідь: m=-1/4

4. Кусково-монотонна, то за теоремою Діріхлє ряд Фур’є цієї функції в кожній точці збігається до значення

Продовжимо функцію на проміжок (-π;0) непарним чином Коефіцієнти Фур’є знаходяться за формулами:

Графік суми ряду Фур’є:

Відповідь: