7. Радиус гирации (радиус инерции сечения)

Радиус гирации – название нескольких схожих измерений размера объекта. Он вычисляется, как среднее квадратическое расстояний частей (частиц) объекта от центра масс или заданной оси [20]. Радиус гирации может быть расчитан с помощью момента инерции I и массы m объекта как целого:

.

Для системы сферических частиц (в частности, для рассматриваемых в статье кластеров сферических частиц) радиус гирации расчитывается по следующей формуле:

, (1.7.1)

где N – число частиц, – радиус-вектор, масса и радиус i-ой частицы.

8. Постановка задачи уир

В рамках УИР была сформулирована конкретная задача:

1. Разработка оптимизированного алгоритма и создание компьютерной программы, использующей распределенные вычисления, для моделирования больших (до 1 млрд. частиц) стохастических фрактальных кластеров сферических частиц с баллистическим механизмом агрегации в соответствии с заданным распределением мономеров по размерам;

2. исследование предельных характеристик фрактальных кластеров для следующих моделей агрегации: модель Айдена, линейная (баллистическая) с параметром соударения, линейная (баллистическая) без параметра соударения;

3. Расчет матрицы рассеяния света системы кластеров из наносфер как среднего по выборке из 2∙10³ стохастических реализаций кластеров такого типа с заданным распределением мономеров по размерам.

2. Теоретическая часть

В ходе проведения УИР были поставлены и решены следующие математические задачи:

1. Алгоритм для моделирования кластеров сферических частиц, образованных по баллистическому механизму

   1. Разбиение пространства на «блоки», обоснование разбиения, описание алгоритма

Введем прямоугольную пространственную сетку с шагом . Разобьем пространство на кубические «блоки»:

, – и введем нумерацию блоков: .

Будем рассматривать кластер из сферических частиц с центрами и радиусами ( ).

Утверждение. Тогда для баллистической траектории сферической частицы радиуса , проходящей через точку , с направлением ( ):

,

точка «прилипания» сферической частицы будет принадлежать одному из блоков , для которых выполнено . Обозначим множество таких блоков с номером за

Опираясь на это утверждение, можно предложить следующий алгоритм определения точки «прилипания» i-ой сферической частиц:

1. Для каждого блока определить множество частиц , где .

2. Для каждого и для каждого определить точку «прилипания» к j-ой сфере, как если бы других частиц не было. Полученное множество возможных точек «прилипания» обозначим за .

3. Вычислить реальную точку «прилипания» по формуле .

При увеличении параметра , отношение среднего количества сфер, лежащих одновременно в нескольких блоках, к среднему (среднего по блокам) количеству сфер, полностью содержащихся в блоке, сокращается. В то время, как количество блоков, принадлежащих , сокращается при уменьшении параметра .

Хотя такой алгоритм и приводит к тому, что точка «прилипания» к одной и той же сфере может быть рассчитана несколько раз, при правильном подборе параметров алгоритм дает существенное сокращение объемов вычислений.

□

3. Программная реализация

1. Программная генерация кластера

1. ГПСЧ

Для генерации стохастических кластеров использовался генератор равномерно распределенных псевдослучайных чисел. В качестве ГПСЧ был выбран алгоритм dSFMT (Double precision SIMD-oriented Fast Mersenne Twister).

Логнормально распределенные случайные числа, определяющие размеры каждой следующей частицы кластера, получались парами путём преобразования чисел ГПСЧ, описанного в задаче 2.1.