2. Вектор положения
Положение чего угодно невозможно задать само по себе. Всё находится относительно чего-то. Значит, мы должны сначала установить начало отсчёта (точку О), а это невозможно сделать по-другому, кроме как поставив туда какое-либо материальное тело (тело отсчёта). И от этого «главного» тела уже можно проводить геометрические векторы, соединяющие начало отсчёта с тем или иным положением материальной точки.
Геометрическим вектором называется направленный отрезок, соединяющий положения двух материальных точек.
Геометрический вектор, соединяющий тело отсчёта с материальной точкой, называется вектором положения материальной точки.
При
задании положения материальной точки
относительно тела отсчёта последнее
по определению считается неподвижным.
Поэтому все возможные векторы положений
начинаются из одной точки и называются
радиус-векторами
.
Совокупность всех возможных радиус-векторов образует пространство.
Смена начала отсчёта приводит к изменению всех радиус-векторов. Каким образом? Ответ зависит от системы постулатов, которыми мы собираемся пользоваться. Классическая механика, которую мы в основном и изучаем, использует постулаты Галилея-Ньютона.
Если
положение материальной точки М
относительно
тела отсчёта в точке О
обозначить
,
относительно другого тела отсчёта в
точке О'
обозначить
,
а геометрический вектор, соединяющий
точки О
и О',
обозначить
,
то наблюдатель в точке О
будет видеть три
геометрических вектора:
,
и
.
Пусть
другому наблюдателю в точке О'
нет дела ни до чего, кроме материальной
точки М.
В дальнейшем системе отсчёта с нелюбопытным
наблюдателем будет отводиться
«второстепенная» роль. В противовес
этому система с наблюдателем, который
видит всё, будет считаться «основной».
В общем, наблюдатель О'
видит только один вектор
.
Как соотносится геометрический вектор
,
видимый в пространстве О'
с геометрическим вектором
,
видимым в пространстве О?
Ответ на этот вопрос даёт первый постулат
Галилея: геометрические векторы в разных
системах отсчёта одинаковы. Т.е.
.
Тогда предыдущий рисунок можно переделать
так:
И правило сложения векторов по треугольнику позволяет записать соотношение между тремя векторами:
.
В соответствии с этим соотношением можно находить положения в «основной» системе отсчёта, зная их во «второстепенной». Такое преобразование радиус-векторов будем называть обратным преобразованием Галилея. Соответственно, прямое преобразование позволяет находить положения во «второстепенной» системе отсчёта, зная их в «основной»:
В дальнейшем какая-либо величина в «основном» пространстве будет называться «абсолютной», во «второстепенном» пространстве «относительной», а та, через которую они связаны, переносной. Значит
«абсолютный» радиус-вектор;
«относительный» радиус-вектор;
переносный радиус-вектор.
Итак, в соответствие с первым постулатом Галилея смена начала отсчета приводит к изменению пространства, которое описывается преобразованием Галилея. Это означает, что пространство относительно.