Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)

Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем их дисперсии известны (например, из предшествующего опыта или найдены теоретически). По независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n и m, извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние и .

Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т. е. .

Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными оценками генеральных средних, нулевую гипотезу можно записать так: .

Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются выборочные средние? Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.

Например, если физические величины имеют одинаковые истинные размеры, а средние арифметические результатов измерений этих величин различны, то это различие незначимое.

Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны.

В качестве критерия проверки Нулевой гипотезы примем случайную величину

.

Эта величина случайная, потому что в различных опытах х и y принимают различные, наперед неизвестные значения. Критерий Z – нормированная нормальная случайная величина, так как является линейной комбинацией нормально распределенных величин X и Y; сами эти величины распределены нормально как выборочные средние, найденные по выборкам, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

В, этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости .

Наибольшая мощность критерия (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда, “левая” и “правая” критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна :

Поскольку Z – нормированная нормальная величина, а распределение такой величины симметрично относительно нуля, критические точки симметричны относительно нуля. Таким образом, если обозначить правую границу двусторонней критической области через , то левая граница равна .

Для нахождения используют функцией Лапласа . Известно, что функция Лапласа определяет вероятность попадания нормированной нормальной случайной величины, например Z, в интервал (0; z).

Так как распределение Z симметрично относительно нуля, то вероятность попадания Z в интервал равна 1/2. Следовательно, если разбить этот интервал точкой на интервалы и , то, и .

Отсюда заключаем: для того чтобы найти правую границу двусторонней критической области, достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное . Тогда двусторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы неравенством .

Обозначим значение критерия, вычисленное поданным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1, Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюденное значение критерия и по таблице функции Лапласа найти критическую точку по равенству . Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Второй случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

На практике такой случай имеет место, если профессиональные соображения позволяют предположить, что генеральная средняя одной совокупности больше генеральной средней другой. В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости. В этом случае, для того чтобы найти границу правосторонней критической области , достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное . Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством .

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдавшееся значение критерия – и по таблице функции Лапласа найти критическую точку из равенства .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Третий случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

В этом случае, задача сводится ко второму случаю. Для этого достаточно поменять местами случайные величины и .