Решение типовой задачи.

Найти матрицу и X^T, если:

A = , B = , C =

Решение. Поскольку размеры матриц A и B равны 3x3 и 3x2,соответственно, размер матрицы AB равен 3x2.

Пусть . Элемент d₁₁ находится на пересечении первой строки и первого столбца, поэтому он равен сумме произведений элементов первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B, т. е. , элемент d₁₂ равен сумме произведений элементов первой строки матрицы A на элемент второго столбца матрицы B, так как он стоит на пересечении первой строки и второго столбца, т. е. . Аналогично находим: ,

, , .

Значит, . Умножая все элементы матрицы AB на 3, найдём . Очевидно, .

Складывая элементы матрицы с соответствующими элементами матрицы , найдем матрицу

Меняя строки и столбцы местами, найдем транспонированную матрицу

Задание 3. Вычислить определитель четвертого порядка, разлагая его по элементам первой строки:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14.

15. 16. 17.

18. 19. 20.

Решение типовой задачи.

Вычислить определитель четвертого порядка

, разлагая его по элементам первого столбца.

Решение. Преобразуем определитель, не меняя его величины. Прибавим к второй строке первую, умноженную на (-2), к третьей первую, из четвертой вычтем первую, умноженную на 3, получим

.

Теперь разложим полученный определитель по элементам первого столбца:

,

где A₁₁, A₂₁, A₃₁, A₄₁, – алгебраические дополнения элементов a₁₁, a₂₁, a₃₁, a₄₁.

Последний определитель вычисляем по правилу треугольников:

Его можно вычислить также разложением по элементам первого столбца, предварительно прибавив вторую строку, умноженную на 3, к первой строке, вторую строку, умноженную на 4 – к третьей строке:

Заметим, что вычисления определителя путем разложения его по строке (столбцу) тем эффективнее, чем больше нулей в строке (столбце). Нули в строке (столбце) можно получить, применяя преобразования, не меняющие величины определителя.

Задание 4. Решить систему линейных уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы):

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.

Решение типовой задачи.

Решить систему уравнений матричным методом.

Решение. Обозначим через A матрицу из коэффициентов исходной системы, через B – столбец из свободных членов, а через X – столбец из неизвестных, т.е.

, , .

Таким образом исходную систему можно записать в матричном виде AX=B.

Определитель , поэтому для матрицы A существует обратная матрица A^-1. Умножив обе части равенства AX=B слева на матрицу A^-1, получаем . Так как , EX=X, то равенство примет вид X=A^-1B.

Эта формула является матричной записью решения исходной системы.

Найдем матрицу A^-1, обратную матрице A, с помощью элементарных преобразований:

откуда .

Тогда искомое решение определяется равенством:

.

Задание 5. Найти сумму ряда.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.