Методика расчета переходных процессов классическим методом в общем случае

Рассмотрим методику расчета переходных процессов классическим методом в произвольной электрической цепи на примере схемы рис.7.19. Рекомендуемый порядок расчета.

I.Выбираем и указываем на схеме положительные направления токов во всех ветвях.

I I. Определяем состояние цепи до коммутации, в момент коммутации (независимые начальные условия) и в принужденном режиме. До коммутации и в принужденном режиме состояние цепи рассчитывается ранее изученными методами, а независимые начальные условия – с помощью законов коммутации.

III. Рассчитываем свободные составляющие токов ПП.

1. На основании законов Кирхгофа или методом контурных токов составляем систему дифуравнений для свободных токов (можно и для полных), определяющих состояние цепи после коммутации. Контуры рекомендуется выбирать так, чтобы в них входило как можно меньше индуктивностей и особенно емкостей. Уравнения, составленные по методу контурных токов, для схемы рис7.19 имеют вид:

2. Определяем корни характеристического уравнения. Существует три способа их определения.

2.1. Способ определителя. Он основан на непосредственном использовании системы дифуравнений. Его суть: попытаемся отыскать решение системы в виде i_Iсв=Ае^pt и i_IIсв=Bе^pt. Тогда

Подставляя эти значения в дифуравнения, получим

При этом дифуравнения превратились в алгебраические и этот прием называется алгебраизацией дифуравнений. Если последнюю систему решать методом определителей, то она будет иметь значение, отличное от нуля, только при условии, что главный определитель системы (р)=0, поскольку, например, , а _I =0, т.к. в правой части уравнений – нули. Итак (р)=0 - это и есть характеристическое уравнение. Для нашего примера

2.2. Способ подстановки. Суть способа: систему дифуравнений методом подстановки необходимо решить относительно любого, но одного тока и по полученному дифуравнению записать характеристическое. Во всех ранее рассмотренных примерах мы использовали именно этот способ.

2.3. Способ входного сопротивления. Его суть: составляется выражение входного комплексного сопротивления цепи относительно любых зажимов, в полученном выражении j заменяется на р и приравнивается нулю, т.е. Z(p)=[Z(j)] _j=p=0. Справедливость этого способа станет понятной ниже.

Несколько замечаний, связанных с корнями р характеристического уравнения,: а) для всех напряжений и токов р одни и те же и находятся они один раз; это связано с тем, что вся цепь охвачена единым переходным процессом; б) количество р равно числу непреобразуемых реактивных элементов схемы (для нашего примера р=4); в) корни характеристического уравнения могут быть либо вещественными, но обязательно отрицательными, либо комплексными, но обязательно сопряженными и обязательно с отрицательной вещественной частью. Это связано с тем, что в линейных цепях ПП всегда затухают.

После определения р имеем: , где n – число корней характеристического уравнения.

IV. Определяем постоянные интегрирования А₁А_n и В₁В_n, используя независимые и зависимые начальные условия. Для этого необходимо при t=0 знать значение искомой величины и n–1 её производных. В общем случае для определения каждой из указанных величин приходится решать систему алгебраических уравнений. В связи с этим главной трудностью классического метода является определение постоянных интегрирования.

V. Определяем истинные токи ПП суммируя принужденные и свободные составляющие.