5.2. Вариационные задачи на условный экстремум.
Будем
считать, что y
- не одна
функция, а набор из m
функций , т.е.
.
Если они независимы, то уравнение
Эйлера-Лагранжа надо писать для каждого
отдельно:
,
i
=
,
Если
между
есть связь, то получаем задачу на условный
экстремум.
5.2.1. Модельные задачи на условный экстремум.
1). Пусть в пространстве есть поверхность, а на ней две точки.
Определение: Линия, которая проходит по поверхности, соединяя эти две точки, и имеющая минимальную длину, называется геодезической.
Задача найти геодезическую, соединяющую две точки, может быть сформулирована, как задача вариационного исчисления.
Предположим,
что поверхность задана уравнением
j(
,
,x)
= 0 (*)
j -дифференцируемая функция ;
x - независимая координата;
y1, y2 - функции от x;
тогда длина пути , соединяющего две точки , равна:
Надо найти минимум функционала при условии (*)
Т.о. получаем задачу на условный экстремум. Начальные условия :
начало
и конец геодезической.
2) Изопериметрическая задача
Требуется найти линию заданной длины , ограничивающую max площадь .
Задача может быть поставлена так :
(**)
-
длина линии.
S
=
max
Связи типа (*) называются локальными.
Связи типа (**) называются интегральными.
Задачи на условный экстремум типа (*) и (**) решаются методом множителей Лагранжа.
Обозначим ограничения следующим образом:
локальные
:
=
0, i =
- сильные связи
интегральные
:
=
,
j =
- слабые связи
Составлим
функционал
:
=
F +
+
Увеличилось
количество неизвестных функций за счет
.
Оказывается
, что экстремальная траектория такова,
что на ней справедливо уравнение
Эйлера-Лагранжа для нового функционала
относительно
переменныхy
и ,
то есть задача сводится к задаче на
безусловный экстремум функционала
.
Введение каждого множителя Лагранжа
(x)
сопровождается появлением соответствующего
нового уравнения Эйлера-Лагранжа
относительно
.
Пример:
Часто локальные связи задаются дифференциальными уравнениями.
-
уравнения связи, (u
- управление)
J
=
min
На
плоскости
имеются начальная и конечная точки.
Надо выбратьu
так , чтобы перевести систему из начальной
точки в конечную, и функционал достигал
экстремального значения.
*т.е. окончательный результат задачи - фазовая траектория.
Решаем методом множителей Лагранжа.
=
+
Выписываем
уравнение Эйлера-Лагранжа относительно
параметров :
,
,
,
,u.
=
0
=
0,
=
(t)
(t)
= 0
уравнение Эйлера-Лагранжа
=
(t)
;
=
(t)
(t)
= 
(t)
=
2u
(t);
=
0
2u
(t)
= 0
u
=
и
дадут уравнения связи.
Тогда получим :
(t)
=
(t)
=
u(t)
=
=
Т.о.
, экстремальная траектория такова, что
управление u - линейная функция.
и
определяются из граничных условий на
концах промежутка
.
Т.о., мы сможем получить решение задачи, проинтегрировав исходную систему уравнений связи.
* мы получим новую фазовую траекторию.
Метод вариационного исчисления ориентирован на уменьшение перебора возможных значений. Так в нашем примере класс функций u(t) сужен и доведен до линейного.
6. Принцип максимума Понтрягина ( на примере задачи оптимального управления ).
Пусть некоторая физическая система описана системой дифференциальных уравнений:
,
где t - независимая переменная , в роли которой обычно выступает время.
,
... ,
-
переменная состояния или фазовые
координаты.
,
... ,
-
переменные управления.
Если ввести векторные обозначения:
X
=
U
=
F
=
,
то рассматриваемая система записывается
в виде :
=
F (X,U)
Требуется
в классе кусочно-непрерывных (поэтому
нельзя использовать вариационное
исчисление) управлений, которые считаются
допустимыми, найти U(t) такое, чтобы при
переходе из начальной точки X(0) =
=
в
заданную точку X(T) =
=
функционал
I =
достигал экстремума,
где
-
заданная гладкая функция.
Введем
переменную
,
определив ее в виде интеграла с переменным
верхним пределом:
=
Тогда
=
(X,U)
Присоединив это уравнение к исходной схеме, получим:
=
,
i =
Важно
отметить, что правые части уравнений
новой системы не зависят от координаты
.
Если ввести расширенные n+1-мерные
векторы:
X
=
F
=
,
то система
=
F (X,U)
Функционал
I =
(T)
представляет собой конечное значение
координаты
и сформулированная выше задача сводится
к задаче о достижении экстремума
конечного значения координаты
(будем иметь
в виду минимизацию функционала
).
Метод принципа максимума Понтрягина является расширением классического вариационного исчисления на случай , когда управляющие воздействия ограничены и
описаны кусочно-непрерывными функциями.
Принцип максимума является необходимым условием оптимальности, для линейных систем - необходимым и достаточным.
Сущность принципа максимума состоит в следующем:
Наряду
с системой
=
,
i =
(*),
описывающей движение управляющего объекта, будем рассматривать систему:
=
-
,
i =
(**),
составленную
относительно некоторых вспомогательных
переменных
.
Она называется сопряженной к (*).
Введем функцию Гамильтона:
H=
Вычислим
частные производные:
=
,
=
.
Теперь с помощью функции Гамильтона системы (*) и (**) могут быть записаны так:
(***)
Система (***) называется гамильтоновой системой.
Необходимые условия оптимальности управления (принцип максимума) формулируется так :
Если управление U(t) и соответствующая ему траектория X(t) оптимальны ,то:
Существует ненулевая непрерывная (n+1)-мерная вектор-функция
(t)
=
,
составляющие которой удовлетворяют
гамильтоновой системе.
Функция Гамильтона
H = ( (t), F (X,U)) представляющая собой произведение вектора скорости, изображающей точки F (X,U) на вектор (t) , достигающее при каждом значении 0 < t < T максимума по U.
В момент времени t = T выполняются соотношения:
(T)
0 и H в момент T равна 0.
Пример:
Для
системы
минимизировать функционал I =
при
фиксированных концах траектории и
фиксированном времени процесса.
Составим функцию Гамильтона:
H
=
+
+
=
+
+
Определяем
функции
(t)
, i = 0,1,2
=
;
=
0,
=
=
;
=
0 ,
=
=
;
=
-
,
=
+
Т.о.
H =
+
+
Согласно условию 2 принципа максимума функция Гамильтона H должна достигать
максимума
по u, т.е.
=
0
2
+
=
0
u(t)
=
Итак, для оптимального управления получен закон линейного изменения. Выше этот
результат был получен классическим вариационным исчислением.