3.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Общий вид линейного д.у.1: непрерывные функции или постоянные. Если , то уравнение решается как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение ищется в виде где некоторые функции.

Указанная подстановка приводит линейное д.у.1 к решению двух д.у. с разделяющимися переменными. Покажем это в общем виде. В линейное уравнение подставим Получим

. (2) Выберем функцию u   такой, чтобы

(3) Уравнение (3) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, найдем функцию без учета произвольной постоянной. Подставим найденную функцию в уравнение (4) и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (2).

Его общее решение позволит получить второй множитель

Тогда общее решение линейного д. у. 1.

Пример 1.

Решение Решаем подстановкой

(4)

подставим в (4).

Общее решение:

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение Подстановка: .

(5)

Подставим найденную функцию u в уравнение (5):

Таким образом, общее решение данного уравнения будет иметь вид

или

Найдем частное решение дифференциального решения, удовлетворяющее начальному условию

Следовательно, искомое частное решение такое:

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Рассмотрим некоторые типы д.у. II, решение которых сводится к решению дифференциальных уравнений первого порядка.

1-й тип. Простейший тип таких уравнений – это Дифференциальное уравнение содержит только вторую производную и некоторую функцию от х

(ни сама функция y, ни ее первая производная в уравнение не входят). Уравнение вида решается последовательным интегрированием два раза.

Пример 1.

Решение

Получили уравнение первого порядка

отсюда

^–

общее решение исходного уравнения (содержит две произвольные постоянные

и ).

Аналогично решаются и дифференциальные уравнения порядков выше второго, если они имеют такой же вид, например:

Пример 2.

Решение

–

общее решение данного уравнения.

Пример 3.

Решение

–

общее решение уравнения. Обратите внимание, общее решение дифференциального уравнения третьего порядка содержит три произвольные постоянные , а дифференциального уравнения четвертого порядка – уже четыре Допускают понижение порядка и дифференциальные уравнения вида

2-й тип. т. е. уравнения, в которые явно не входит сама искомая функция у. Решаются такие уравнения подстановкой где вспомогательная функция.

Тогда Подставив в данное уравнение, получим уравнение – дифференциальное уравнение первого порядка.

Пример 4 (6)

Положим и уравнение примет вид

(7)

это линейное уравнение первого порядка относительно функции

Решаем его подстановкой где

Получим

Функция

Исходное уравнение (6) решалось подстановкой Поэтому

Интегрируя, получим –

общее решение уравнения (6).

Пример 5. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение Применим подстановку

Получим уравнение .

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции р. Разделим переменные:

Интегрируя, получим

Откуда

Используем второе начальное условие получим

Следовательно,

а после интегрирования

Применим первое начальное условие получим

Искомым частным решением будет

Еще одним типом уравнений, допускающих понижение порядка, является уравнение вида

3-й тип

т. е. уравнение, не содержащее явно независимую переменную х. Здесь порядок уравнения понижается на единицу путем следующей замены:

где

Здесь р – новая вспомогательная функция, а у играет роль независимой переменной. Тогда т. е.

Заметим, что вторая производная получена по правилу дифференцирования сложной функции.

Подставив выражения в данное уравнение, получим

–

уравнение первого порядка относительно р как функции от у.

Пример 6. Найти общее решение уравнения

(8)

Решение Полагаем получим – (9)

это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приведя его к виду и интегрируя, получим

Так как исходное уравнение (8) решалось с помощью подстановки получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно искомой функции у от х .

Но так как произвольные постоянные, также произвольные постоянные. Поэтому полученный общий интеграл данного дифференциального уравнения можно записать в виде

т.е.

или

Пример 7. Найти частное решение уравнения при начальных условиях

Решение Применим подстановку Тогда

Получим уравнение первого порядка:

Разделив уравнение на получим

Это линейное уравнение первого порядка относительно функции

Решаем его подстановкой

Тогда

Интеграл справа берем по частям с помощью подстановки

Тогда

Таким образом,

Тогда функция

Таким образом, , или

Найдем значение из начальных условий