Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла

.pdf

Скачиваний:

140

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Замечание 2 (геометрическая ин-							y
терпретация теоремы об интегральном
среднем	значении		функции).		Пусть
(	)	и f ( x) ≥ 0 , x [a, b]
f ( x) C [a, b]		и f ( x) ≥ 0 , x [a, b]				f (c) =µ
( a < b ). В этом частном случае из со-						f (c) =µ
отношения (5) следует, что существует
прямоугольник с высотой				µ = f (c) и					x
длиной основания (b −a) , площадь ко-									x
длиной основания (b −a) , площадь ко-							a	c	b
торого равна площади криволинейной							a	c	b
торого равна площади криволинейной						Рис. 1.14. Геометрическая
трапеции,	ограниченной			линиями:		Рис. 1.14. Геометрическая
трапеции,	ограниченной			линиями:		интерпретация теоремы об интегральном
y = 0 , y = f (x) , x = a , x = b .						среднем значении функции
Примеры.						среднем значении функции
Примеры.
1. Определить			интегральное			среднее	значение		функции
f ( x) = sin x sin ( x +ϕ) на промежутке [0, 2π].

2π

fcp =

∫sin x sin (x +ϕ) dx =

∫12 [cos ϕ − cos(2x +ϕ)]dx =

2π

x=2π

cos

x cos ϕ −

sin (2x +

ϕ)

4π

x=0

2πt

2. Сила переменного тока меняется по закону

i = i

sin

+ϕ

, где

–

амплитуда, t – время, T – период и ϕ среднее значение квадрата силы тока.

i2 = i02 sin2 2Tπt +ϕ

dt =

)

−cos

+ 2ϕ

∫

– начальная фаза. Найти интегральное

−cos

2ϕ

;

t=T

t −

sin

+ 2ϕ

4π

t=0

§6. Некоторые неравенства для определенных интегралов

Теорема	1. Пусть f ( x) R [a, b] ( a ≤ b ), и пусть		f (x) – такая, что
	(	)
A ≤ f (x) ≤ B ,	x [a, b]. Тогда
		b
	A(b −a) ≤ ∫ f (x) dx ≤ B(b −a) .		(1)

1) Если a = b , то соотношение (1) выполняется (очевидно). 2) Пусть a < b . По теореме о среднем имеем

			b
			∫ f (x) dx = µ(b −a) , где m ≤ µ ≤ M					(2)
			a
( m = inf	f (x) ,		M = sup	f (x) ).
[a,b]{		}	[a,b]{	}
По условию,			A ≤ f (x) ≤ B , x [a, b]		числа A и B являются соответствен-
но нижней		и	верхней	границами	множества	{	f (x) ,	x [a, b]. Значит,
						{	}

A ≤ m ≤ M ≤ B . Так как m ≤ µ ≤ M , то и подавно A ≤ µ ≤ B . Умножим все части

последнего неравенства на	(b −a)	(у нас b > a	b −a > 0 ). Получим
		b
A(b −a) ≤ µ(b −a) ≤ B(b −a) .	Из (2):	µ(b −a) = ∫ f (x) dx .	Тогда предыдущее

неравенство может быть записано в виде

Замечание. Из доказанной теоремы вытекают следующие утверждения.
(	)
Утверждение 1. Пусть f (x) R [a, b] ( a ≤ b ), и пусть f (x) ≥ 0 , x [a, b].
b

Тогда ∫ f (x) dx ≥ 0.

Если в теореме 1 положить A = 0 , то получим утверждение 1.
Утверждение 2. Пусть		(	)	(	)
Утверждение 2. Пусть	f (x) R [a, b] , g(x) R [a, b] ( a ≤ b ). Пусть
	b		b
f ( x) ≤ g(x) , x [a, b]. Тогда	∫ f (x) dx ≤ ∫g(x) dx ,			т.е. неравенство можно ин-
	a		a
тегрировать, если порядок пределов нормальный.					x [a, b]. Ясно, что
Введем в рассмотрение функцию ϕ(x) = g(x) − f (x) ,					x [a, b]. Ясно, что
	(	)	. Но тогда из утверждения 1 следует:
ϕ(x) ≥ 0 , x [a, b], и что ϕ(x) R [a, b]			. Но тогда из утверждения 1 следует:
b
∫ϕ(x) dx ≥ 0 , т.е.
a
b			b	b
∫(g(x) − f (x))dx ≥ 0 ∫ f (x) dx ≤ ∫g(x) dx .
a			a	a

Теорема 2. Пусть f (x) C([a, b]) ( a < b ). Пусть f (x) ≥ 0 , x [a, b]. Тогда если в [a, b] имеется хотя бы одна точка x0 такая, что f (x0 ) > 0, то

∫ f (x) dx > 0.


a		x0−δ x0 x0+δ b x

Рис. 1.15. К доказательству теоремы 2

Пусть, для определенности, точка x0 (a, b) (т.е. x0 – внутренняя точка промежутка). Пусть f (x0 ) = h ( h > 0 ). По теореме о стабильности знака суще-

ствует uδ(x0 ) такая, что uδ(x0 ) (a, b) и f (x) > h2 , x uδ(x0 ) . Имеем

x0 −δ

x0 +δ

∫ f (x) dx =

∫ f ( x) dx +

∫ f (x) dx .

(3)

x0 −δ

x0 +δ

−δ

По

утверждению 1:

∫ f (x) dx ≥ 0 ;

∫ f (x) dx ≥ 0 .

По

теореме 1:

x0 +δ

∫ f (x) dx >

. Тогда из (3) следует: ∫ f (x) dx > 0.

2 2δ = h δ > 0

x0 −δ

Замечание. Справедливо утверждение:

(

)

( a < b ).

Пусть

f (x) ≥ 0 , x [a, b].

Тогда

если

Пусть f ( x) C [a, b]

∫ f (x) dx = 0 , то f (x) ≡ 0 , x [a, b].

Рассуждаем от противного. Предположим, что в [a, b] имеется хотя бы

одна

точка

такая,

что

f (x0 ) > 0. Тогда по

теореме

должно

быть

∫ f (x) dx > 0, а это не так (по условию ∫ f (x) dx = 0 ).

(

)

Теорема

Пусть

f ( x) R [a, b]

. Пусть

f (x)

≤ K ,

x [a, b].

Тогда

∫ f (x) dx

≤ K

b −a

[a,b]{

}

По теореме о среднем

∫

f (x) dx = µ(b −a) , где m ≤ µ ≤ M

( m = inf

f (x) ,

M = sup

{

}

f (x) ). Тогда

[a,b]

∫ f (x) dx

b −a

(4)

По условию − K ≤ f ( x) ≤ K , x [a, b] числа − K и K являются соответ-

ственно нижней и верхней границами множества

{

}

x [a, b]. Следова-

f (x) ,

тельно, − K ≤ m ≤ µ ≤ M ≤ K − K ≤ µ ≤ K , т.е.

≤ K

b −a

≤ K

b −a

Тогда из (4) получаем

∫ f (x) dx

≤ K

b −a

Примеры.

1. Оценить интеграл 20∫cos1+ 2x8x dx .

Так как 0 ≤ cos2 x ≤1, то при x ≥12 выполняется неравенство

0 ≤

cos2 x

≤

128

Поэтому

1+ x8

1+128

20 cos2 x

0 <

∫

dx <

(20 −12) =

1+ x8

128

107

2. Пусть функция

f ( x) задана на [0,1] следующим образом:

f ( x) =

x x

, x (0,1],

x = 0.

(

)

f (x) = lim x x = lim ex ln x

Имеем lim

=1 = f (0)

f ( x) C [0,1]

x→+0

(

)

∫

x x dx существует. Произведем оценку этого интеграла.

f ( x) R [0,1] , т.е.

f ( x) в

Для этого найдем наименьшее и наибольшее значения функции

[0,1]. Имеем для

x (0,1) :

y′ = (x x )′

= (ex ln x )′ = ex ln x (ln x +1)

y′

= 0

лишь в точке x = 1

(в остальных точках промежутка (0,1)

y′ существует, ко-

нечная, отличная от нуля). Из выражения для

y′ следует:

y′ < 0 ,

, и

y′ > 0 ,	1		точка x =		1	– точка минимума функции		y = x	x
y′ > 0 ,	x	,1	точка x =		e	– точка минимума функции		y = x
x	e				e
( ymin = e	−1				f (0) =1; f (1) =1. Вывод: наименьшее зна-
( ymin = e	e = 0.692... ). Имеем далее:				f (0) =1; f (1) =1. Вывод: наименьшее зна-
чение нашей функции m = e				−1
чение нашей функции m = e				e ; наибольшее значение M =1.
Таким образом, получаем неравенство
		1	1			1	1
	e−e (1−0) ≤ ∫x x dx ≤1 (1−0), т.е. e−e ≤ ∫x x dx ≤1.
			0				0

3. Неравенство Буняковского – Шварца (Буняковский В.Я., 1804–1889 –

российский математик, Шварц К.Г., 1843–1921 – немецкий математик).
(		)	g( x)		(	)
Пусть f ( x) R [a, b] ;			g( x)	R [a, b] ( a ≤ b ). Пусть λ – любое, вещест-
венное. Имеем		b
		b	[f (x) + λg(x)]2 dx ≥ 0
		∫	[f (x) + λg(x)]2 dx ≥ 0
	b	a			b		b
	b				b		b
λ2 ∫g2 ( x) dx + 2λ∫ f (x) g(x) dx + ∫ f 2 (x) dx ≥ 0 .								(5)
	a				a		a
b		b				b
Обозначим ∫g2 ( x) dx = α;		∫ f (x) g(x) dx = β; ∫ f 2 ( x) dx = γ . В новых обозначе-
a		a				a
ниях (5) примет вид
			αλ2 + 2βλ + γ ≥ 0 .					(6)
Так как трехчлен αλ2 + 2βλ + γ неотрицателен для всех λ лишь тогда,								когда
β2 −αγ ≤ 0 , то в силу (5)
	b				2	b	b
	∫ f ( x) g( x) dx				≤	∫ f 2 ( x) dx ∫g2 ( x) dx ,		(7)
	a					a	a
или
	b				b		b
	b				b		b
	∫ f ( x) g( x) dx ≤				∫ f 2 ( x) dx		∫g2 ( x) dx .	(8)
	a				a		a

Неравенства (7) и (8) носят название неравенств Буняковского – Шварца.

В частном случае, когда g( x) ≡1, x [a, b], будем иметь

b		b			~
∫ f ( x) dx ≤	b −a ∫ f		2	( x) dx .	~
∫ f ( x) dx ≤	b −a ∫ f			( x) dx .	( 8 )
a		a

§7. Обобщенная теорема о среднем значении для определенного интеграла

Пусть

1)f ( x) R([a, b]) и g( x) R([a, b]),

2)m ≤ f (x) ≤ M , x [a, b],

3)функция g( x) не меняет знака на [a, b] , т.е. либо неотрицательна, либо неположительна на [a, b] .

Тогда справедливо соотношение:

b	b
∫ f (x) g(x) dx = µ∫g(x) dx ,		(1)
a	a
где µ – некоторое число, удовлетворяющее условию m ≤ µ ≤ M .
Заметим, что если a = b , то соотношение (1)		выполняется для любого
µ [m, M ].
1) Обсудим случай, когда a < b . По условию имеем:
m ≤ f (x) ≤ M,	x [a, b].	(2)

Умножим все части неравенства (2) на g( x) . Получим:

mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ Mg(x) , если g( x) ≥ 0 ,

mg(x) ≥ f (x)g(x) ≥ Mg(x) , если g( x) ≤ 0 .

У нас a < b (порядок пределов интеграла нормальный). А тогда, интегрируя последние неравенства, будем иметь соответственно

b	b	b
m∫g(x) dx ≤ ∫ f (x) g(x) dx ≤ M ∫g(x) dx , если g( x) ≥ 0 ,			(3)
a	a	a
b	b	b
m∫g(x) dx ≥ ∫ f (x) g(x) dx ≥ M ∫g(x) dx , если g( x) ≤ 0 .			(4)
a	a	a
	b	b

Заметим, что ∫g(x) dx ≥ 0 , если g( x) ≥ 0 , и ∫g(x) dx ≤ 0 , если g( x) ≤ 0 . Если

a a

окажется, что ∫g(x) dx = 0 , то как в первом, так и во втором случаях

∫ f (x) g(x) dx = 0

(это видно непосредственно из (3) и (4)), и, следовательно, соотношение (1) бу-

дет выполняться при любом µ [m, M ]. Если же ∫g(x) dx ≠ 0, то будем иметь

b	a
b
∫g(x) dx > 0 ,	если g( x) ≥ 0 ,	x [a, b],
a
и
b
∫g(x) dx < 0 ,	если g( x) ≤ 0 ,	x [a, b].
a	b
	b

Разделив неравенства (3) и (4) на ∫g(x) dx , получим в обоих случаях одно и

то же неравенство

∫ f ( x) g( x) dx

		m ≤	a			≤ M .	(5)
		m ≤		b		≤ M .	(5)
				b
				∫g( x) dx
	b			a
	b
	∫ f ( x) g( x) dx
Обозначим	a	= µ (ясно, что m ≤ µ ≤ M ). Тогда
Обозначим	b	= µ (ясно, что m ≤ µ ≤ M ). Тогда
	b
	∫g(x) dx
	a	b			b
		b			b
		∫ f (x) g(x) dx = µ∫g(x) dx ,
		a			a

аэто и требовалось установить.

2)Рассмотрим теперь случай, когда a > b . Мы знаем, что

b	a
∫ f (x) g(x) dx = −∫ f (x) g(x) dx ,		(6)
a	b
b	a
∫g(x) dx = −∫g( x) dx .		(7)
a	b

У интегралов ∫ f (x) g(x) dx и ∫g(x) dx порядок пределов нормальный ( b < a ).

b	b
Для таких интегралов в пункте 1) было установлено
a	a
∫ f (x) g(x) dx = µ∫g(x) dx, m ≤ µ ≤ M .
b	b

Принимая во внимание (6), (7), последнее соотношение можно переписать в виде

b	b
− ∫ f ( x) g( x) dx = −µ∫g( x) dx (1).
a	a	(	)

Частный случай обобщенной теоремы о среднем. Пусть g( x) R [a, b] и

g( x) не меняет знака на [a, b] , т.е. либо неотрицательна, либо неположительна

(	)	. Тогда на [a, b] обязательно найдется хотя бы
на [a, b] . Пусть f ( x) C [a, b]		. Тогда на [a, b] обязательно найдется хотя бы
одна точка c такая, что будет
b		b

∫ f (x) g(x) dx = f (c)∫g(x) dx .

		a	(	)		a
По условию					f ( x)	достигает в [a, b] своих наибольше-
		f ( x) C [a, b]
го M и	наименьшего m значений					m ≤ f (x) ≤ M , x [a, b]. Так как
(	)			(	)	что выполнены все условия обоб-
f ( x) C [a, b] , то		f ( x) R [a, b] . Видим,
					b	b

щенной теоремы о среднем. Поэтому ∫ f (x) g(x) dx = µ∫g(x) dx , где m ≤ µ ≤ M .

					a	a
Было отмечено, что значения m и M функцией						f ( x) достигаются на [a, b] . Если
же	m < µ < M ,		то по	теореме о	промежуточном значении		для функции
	(	)	заключаем: на промежутке [a, b] обязательно найдется хотя бы
f ( x) C [a, b]
одна	точка	c	такая,	что будет	f (c) = µ,	а значит, и в	этом случае
b			b
∫ f (x) g(x) dx = f (c)∫g(x) dx .
a			a

Примеры применения обобщенной теоремы об интегральном среднем значении функции на промежутке.

1. Определить знак интеграла J = ∫x3ex dx .

−2

∫x3ex dx = ∫x3ex dx + ∫x3ex dx . В первом интеграле справа делаем замену

−2

x = −t . Получаем

0	2	−t		2
3 x	3	−t	dt	3 −x
∫x e	dx = −∫t e		dt	= −∫x e	dx .
−2	0			0

2	2
Следовательно, J = ∫x3(ex −e−x ) dx = 2∫x3 sh x dx . Положим f ( x) = sh x ,
0	0

g( x) = x3 . Тогда по обобщенной теореме об интегральном среднем значении функции будем иметь

J = 2sh c∫x3dx = 8sh c > 0, 0 < c < 2 .

xndx

2. Доказать, что nlim→∞

∫

= 0 .

1+ x

Положим f ( x) =

g( x) = xn . Применяем обобщенную теорему об ин-

+ x

тегральном среднем значении функции. Получаем

1 xndx

xn+1

x=1

∫

∫x

dx =

, где 0 ≤ c ≤1,

1+ x

1+c

n +1

(n +1)(1+c)

x=0

откуда

1 xndx

xndx

≤ ∫

≤

nlim→∞ ∫

= 0 .

(n +1) 2

1+ x

n +1

1+ x

π 2

3. Доказать, что lim ∫sinn x dx = 0 .

n→∞ 0

Возьмем ε > 0 – любое сколь угодно малое. Имеем

π	π−		ε		π		~ ~
2	2		2		2
Jn = ∫sinn x dx =		∫sinn x dx +			∫sinn
Jn = ∫sinn x dx =		∫sinn x dx +			∫sinn		x dx = Jn + Jn .
0	10 4243			π		ε
0	10 4243			2	−	2
			~	14243
			=Jn			~
						=Jn

При любом n N справедлива оценка

2ε .

∫sinn x dx

≤

∫

sinn x

dx ≤

∫dx =

π−ε

n−1

Так как 0 ≤ sin

≤ sin

для

−

∫sin

x dx ≤

∫sin

x dx ,

, то 0

т. е.

0 < Jn ≤

Jn−1 {Jn}n N монотонно убывающая, ограниченная снизу. Зна-

чит,

существует

конечный

предел

Представим

виде

l = lim Jn .

π−ε

n→∞

∫

sinn x dx =

sinn−1 x

sin x dx по обобщенной теореме об интеграль-

∫124 43

{

=g(x)

= f (x)

π−ε

−1

= sin cn ∫sin

, где cn

−

ном среднем значении Jn

x dx = sin cn Jn−1

Из соотношения

заключаем, что l = 0 . (Если предположить,

Jn =

Jn−1 sin cn

что l ≠ 0 , то будем иметь

lim sin cn = lim

~Jn

=1, а это невозможно, ибо все

n→∞

n→∞ Jn−1

значения sin cn

−

0, sin

Таким образом, получили

> 0 отвечает номер

lim Jn = 0 . Значит, взятому ε

n→∞

N такой, что

, если

≤

если n

> N .

Jn <

n > N . А тогда

< ε,

Последнее означает, что

π 2

lim J

= lim

∫

sinn x dx = 0 .

n→∞

§8. Определенный интеграл как функция своего верхнего (нижнего) предела

Пусть функция f (t) R([a, b]). Пусть x – любое, удовлетворяющее условию:

(	)	x
		∫	f (t) dt
a ≤ x ≤ b . Ясно, что [a, x] [a, b] и, следовательно, f (t) R [a, x] , т.е.

существует для любого x [a, b].

Нетрудно понять, что ∫ f (t) dt представляет собой функцию аргумента x,

определенную в промежутке [a, b] . Будем обозначать эту функцию через Φ( x) , x [a, b]. Таким образом,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
01.05.20143 Мб124 семестр (СРВМ).tif
#
01.05.201473 Кб43Двойной интеграл.DOC
#
01.05.201444 Кб55Еще одна шпора по матану.doc
#
01.05.2014459 Кб62Индивидуальное задание 1 по спецглавам матана.mcd
#
01.05.20141 Мб62Кратные интегралы.doc
#
01.05.20143 Мб140Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла.pdf
#
01.05.20143 Мб51Математический анализтеория рядов.pdf
#
01.05.2014618 Кб26Производная.doc
#
01.05.201493 Кб63Решение типовика по пределам.doc
#
01.05.201497 Кб28Специальные главы Матана.mcd
#
01.05.2014130 Кб191Шпаргалка на ряды и разные интегралы.DOC