3.2.2 Правила образования машинных кодов

1. прямой код положительного и отрицательного чисел отличается только знаковыми разрядами, модуль числа не изменяется; положительное число в прямом, обратном и дополнительном кодах изображается одинаково;

2. обратный код отрицательного двоичного числа образуется из прямого кода положительного числа путем замены всех единиц на нули, а нулей на единицы, включая знаковый разряд;

3. дополнительный код отрицательного числа образуется путем добавления единицы к младшему разряду обратного кода этого же числа или заменой в коде положительного числа всех нулей на единицы, а единиц на нули, исключая последнюю единицу и следующие за ней нули.

Определение прямого кода отрицательного числа по его обратному и дополнительному коду производится по тем же правилам.

Числа, представленные в естественной форме, в памяти ЭВМ представляются в дополнительном коде, числа в нормальной форме хранятся в прямом коде. Действия в ЭВМ выполняются в прямом и дополнительных кодах, обратный код используется для получения дополнительного кода.

3.2.3 Действия над машинными кодами чисел

3.2.3.1 Действия над числами, представленными в естественной форме

При сложении кодов чисел в естественной форме следует учитывать следующие положения:

1. числа хранятся в памяти в дополнительном коде;

2. в сумматоре числа складываются вместе со знаками, при этом образуется знак результата;

3. при сложении чисел разными знаками единица переноса из знакового разряда стирается, т.е. компенсируется одна константа образования дополнительного кода;

4. признаками переполнения разрядной сетки при сложении кодов чисел с одинаковыми знаками могут служить:

а) знак суммы не соответствует знакам слагаемых;

б) переносы из старшего разряда суммы в знаковый и из знакового не согласуются, т.е. один из них присутствует, а другой отсутствует.

Очевидно, что если переносы согласуются, т.е. оба отсутствуют или оба присутствуют, то переполнения разрядной сетки не происходит./5/

Пример 2.4. Даны два числа: А = 254, В = 175. Найти сумму чисел при разных знаках слагаемых в 16-ти разрядном формате.

Решение.

а) Представим исходные числа в двоичной системе счисления:

А₁₀ = 254 ~ А₁₆ = FE ~ А₂ = 11111110;

B₁₀ = 175 ~ B₁₆ = AF ~ B₂ = 10101111.

б) Составим машинные коды этих чисел с разными знаками:

[A]_пк = 0.000000011111110;

[B]_пк = 0.000000010101111;

[–A]_дк = 1.111111100000010;

[–A]_дк = 1.111111101010001.

в) Выполним действия:

C₁ = A + B

[ + A]пк = 0.000000011111110 [B]пк = 0.000000010101111

[С1]пк = 0.000000110101101 > 0;

C₂ = A – B

+ [A]пк = 0.000000011111110 [–B]дк = 1.111111101010001

[С2]пк = 10.00000001001111 > 0;

C₃ = В – А

+ [В]пк = 0.000000010101111 [–А]дк = 1.111111100000010

[С3]пк = 1.111111110110001 < 0;

C₁ = – A – B

+ [–A]дк = 1.111111100000010 [–B]дк = 1.111111101010001

[С4]пк = 11.111111001010011 < 0.

Из примера следует:

1. при получении сумм слагаемых с одинаковыми знаками (С₁ и С₄) переполнения разрядной сетки не произошло, так как знак суммы соответствует знакам слагаемых и переносы в знаковый и из знакового согласуются;

2. при получении сумм С₂ и С₄ образовался перенос из знакового разряда, который следует исключить;

3. суммы С₁ и С₂ – положительные, С₃ и С₄ – отрицательные, т.е. знаки результатов получены при сложении чисел со знаками.

Полученные суммы заносятся в разрядную сетку памяти в дополнительном коде, т.е. без изменения.

Проверка. Для этого следует перевести полученные суммы любым способом в десятичную систему и сравнить с заданием:

С₁ = 110101101 = 1 · 2⁸ + 1 · 2⁷ + 1 · 2⁵ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2⁰ = 429;

С₁ = 254 + 175 = 429.

Пример 2.5. Дано А = 25756, В = 7125. Найти суммы положительных и отрицательных значений в 16-ти разрядном формате.

Решение.

А₁₀ = 25756 ~ А₁₆ = 649С ~ А₂ = 110010010011100;

B₁₀ = 7125 ~ B₁₆ = 1ВD5 ~ B₂ = 1101111010101.

C₁ = A + B

[ + A]пк = 0.110010010011100 [B]пк = 0.001101111010101

[С1]пк ≠ 1.000000001110001 < 0;

C₂ = – A – B

[ + A]дк = 1.001101101100100 [B]дк = 1.110010000101011

[С2]дк = 10.111111110001111 > 0.

Полученные суммы не соответствуют ожидаемым результатам, поскольку произошло переполнение разрядной сетки за допустимые значения (32767). Переполнение разрядной сетки легко определить либо по первому признаку – знаки сумм С₁ и С₂ не соответствуют знакам слагаемых, либо по второму – переносы в знаковый и из знакового разряда в суммах С₁ и С₂ не согласуются. В этих случаях в больших ЭВМ вырабатывается запрос на прерывание программы, в некоторых типах малых ЭВМ производится автоматический переход к нормальной форме представления данных.

Замечание. Операции умножения и деления производятся над абсолютными значениями чисел – в прямом коде. Знак произведения определяется сложением по модулю 2 знаков сомножителей (0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0), знак частного – сложением по модулю 2 знаков делимого и делителя, а знаку остатка присваивается знак делимого.