13. Двома приладами в тому самому порядку виміряні 6 деталей і отримані наступні результати вимірів (у сотих частках мм):

x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = 5, x₄ = 6, x₅ = 8, x₆ = 10;

y₁ = 10, y₂ = 3, y₃ = 6, y₄ = 1, y₅ = 7, y₆ = 4.

При рівні значущості 0,05, установити, значимо або не значимо розрізняються результати вимірів, у припущенні, що вони розподілені нормально.

Відповідь:

Знайдемо різниці d_i = x_i – y_i; віднімаючи із чисел першого рядка числа другий, одержимо

d₁ = -8, d₂ = 0, d₃ = -1, d₄ = 5, d₅ = 1, d₆ = 6.

Знайдемо вибіркову середню, з огляду на те, що 

 = 

Знайдемо виправлене середнє квадратичне  відхилення  , з огляду на, що   й  :

s_d = 

Знайдемо спостережуване значення критерію

T_спост = 

По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента за рівнем значущості 0,05, та числу степенів вільності k=n–1=6–1=5 знаходимо критичну точку t_{двост,кр}(0,05;5)=2,57.

З того, що T_спост<t_{двост.,кр} – немає підстав відкинути нульову гіпотезу. Інакше кажучи, середні результати вимірів розрізняються не значимо.

14. По 100 незалежних випробуваннях знайдена відносна частота  =0,14. При рівні значущості 0,05, потрібно перевірити нульову гіпотезу H₀:р=р₀=0,20 при конкуруючій гіпотезі H₁: p ≠ 0,20.

Відповідь:

Знайдемо спостережуване значення критерію, з огляду на, що q₀ = 1 – p₀ =1–0,20=0,80:

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд р тому критична область — двостороння. Знайдемо критичну точку u_кр:

По таблиці функції Лапласа знаходимо u_кр =1,96.

Тому що U_спост< u_кр – немає підстав відкинути нульову гіпотезу. Інакше кажучи, спостережувана відносна частота 0,14 не значимо відрізняється від гіпотетичної ймовірності 0,20.

15. Партія виробів приймається, якщо ймовірність того, що виріб виявиться бракованим, не перевищує 0,02. Серед випадково відібраних 480 виробів виявилося 12 бракованих. Чи можна прийняти партію?

Відповідь:

Нульова гіпотеза H₀ має вигляд: р=р₀= 0,02. Приймемо як конкуруючу гіпотезу H₁: р > 0,02 та рівень значущості α = 0,05.

Знайдемо відносну частоту браку:

Знайдемо спостережуване значення критерію

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд р > р₀, тому критична область – правостороння .

Знайдемо критичну точку U_кр правобічної критичної області з рівності:

По таблиці функції Лапласа знаходимо U_кр =1,645.

Тому що U_спост<U_кр - немає підстав відкинути гіпотезу про те, що ймовірність браку в партії не перевищує 0,02. Таким чином, партію можна прийняти.

Модуль 2. Вибірковий метод Завдання для самостійного виконання

1. За двома незалежними вибірками, об'єми яких n₁ = 11 і n₂ = 14, витягнутими з нормальних генеральних сукупностей X і Y, знайдені виправлені вибіркові дисперсії  = 0,79 і  = 0,52. При рівні значущості α=0,05, перевірити нульову гіпотезу H₀: D (X) =  D(Y) про рівність генеральних дисперсій, при конкуруючій гіпотезі H₁:

а) D (X) > D(Y),

б) D(X) ≠ D(Y).

2. Двома методами проведені виміри металевого стержня. Отримано  наступні результати (у мм):

а) для першого методу x₁ = 9,0; x₂ = 10,2; x₃ = 9,7; x₄ = 10,3; x₅=10,6;

б) для другого методу y₁ = 10,2; y₂ = 9,7; y₃ = 9,2; y₄ =10,7, y₄ =10,0

Чи можна вважати, що обидва методи забезпечують однакову точність вимірів, якщо прийняти рівень значущості α=0,1? Передбачається, що результати вимірів розподілені нормально та вибірки незалежні. Розв’язати ту ж саму задачу, якщо прийняти α=0,05.

3. З нормальної генеральної сукупності витягнута вибірка об'єму n = 25 і по ній знайдена виправлена вибіркова дисперсія   = 18,2. Потрібно, при рівні значущості α=0,05, перевірити нульову гіпотезу H₀: σ² =σ²₀ = 17, прийнявши у якості конкуруючої гіпотезу H₁: σ²>17.

4. Точність роботи верстата-автомата перевіряється по дисперсії контрольованого розміру виробів, що не повинна перевищувати σ²₀ = 0,1. Узято пробу з випадково відібраних виробів, причому отримані наступні результати вимірів:

Контрольований розмір

проби виробів       x_i   3,0   3,5    3,8   4,4    4,5     4,2

частота                   n_i     2       6      9     10      2       1

Потрібно, на рівні значущості 0,01, перевірити, чи забезпечує верстат необхідну точність.

5. По двох незалежних вибірках, об'єм яких n і m, витягнутих з нормальних генеральних сукупностей знайдені вибіркові середні   і  . Генеральні дисперсії D(x) та D(y) відомі. Потрібно, на рівні значущості α, перевірити нульову гіпотезу H₀: М(Х) = М(Y), при конкуруючій гіпотезі H₁.

Розв’язати цю задачу за наступними даними:

а) n=20, m=32,  =141 і  =132, D(x) = 83, D(y)=99, α=0,05, H₁:M(X)≠M(Y);

б) n=23, m=30,  =14 і  =13, D(x) = 80, D(y)=78, α=0,01, H₁:M(X)≠M(Y);

в) n=24, m=33,  =140 і  =156, D(x) = 80, D(y)=78, α=0,05, H₁:M(X)<M(Y);

г) n=24, m=32,  =144 і  =157, D(x) = 80, D(y)=78, α=0,01, H₁:M(X)>M(Y).

6. За двома незалежними малими вибірками, об'єми яких n та m, вилученими з нормальних генеральних сукупностей X і Y, знайдені вибіркові середні  ,   і виправлені вибіркові дисперсії   та  . Потрібно, на рівні значущості α, перевірити нульову гіпотезу H₀:М(Х)=М(Y) при конкуруючій гіпотезі H₁.

а) n=10, m=15,  =41 і  =32,   = 0,83,  =0,99, α=0,05, H₁:M(X)≠M(Y);

б) n=13, m=14,  =45 і  =39,   = 0,1,   =0,2, α=0,05, H₁:M(X)>M(Y);

в) n=13, m=16,  =14 і  =16,   = 0,23,   =0,2, α=0,01, H₁:M(X)<M(Y);

г) n=19, m=15,  =16 і  =19,   = 0,83,  =0,9, α=0,01, H₁:M(X)≠M(Y).

7. Із двох партій виробів, виготовлених на двох однаково налаштованих верстатах, витягнуті малі вибірки, об'єми яких n=10 і m=12. Отримано наступні результати:

а) виробів першого верстата    x_i    3,4      3,5     3,7      3,9

частота (число виробів)            n_i     2          3        4         1

виробів другого верстата          y_i    3,2      3,4     3,6      3,7

частота                                        m_i     2         2        8        1

б) виробів першого верстата    x_i    36       37      40      41

частота (число виробів)            n_i     2          6        4      3

виробів другого верстата          y_i    36      40     36      37

частота                                        m_i     2         2        8      1

в) виробів першого верстата    x_i    3,8      3,7     3,3

частота (число виробів)            n_i     7          6        4

виробів другого верстата          y_i    3,2      3,7     3,6      3,7

частота                                        m_i     4         2        7        2

Потрібно, при рівні значущості α=0,02, перевірити гіпотезу H₀: М(Х)=М(Y), про рівність середніх розмірів виробів при конкуруючій гіпотезі H₁: М(Х)≠(Y).

Передбачається, що випадкові величини X і Y розподілені нормально.

8. З нормальної генеральної сукупності з відомим середнім квадратичним відхиленням σ або знайденим за цією вибіркою виправленим середнім квадратичним відхиленням   витягнута вибірка об'єму n та по ній знайдена вибіркова середня  . Потрібно, при рівні значущості α, перевірити нульову гіпотезу H₀, при конкуруючій гіпотезі H₁.

а) σ=5,1, n =102  =32,2, α=0,01, H₀:a = а₀ = 33, H₁: а≠33;

б)  =7, n=120,  =56,3, α=0,1, H₀:a = а₀ = 57, H₁: а≠57;

в) σ=6,1, n =19,  =26,12, α=0,01, H₀:a = а₀ = 25, H₁: а≠25;

г)  =10, n=120,  =88,3, α=0,1, H₀:a = а₀ =90, H₁: а≠90;

д) σ=5,1, n =100  =84,2, α=0,01, H₀:a = а₀ =80, H₁: а≠80;

ж)  =1,2, n=25,  =6,3, α=0,1, H₀:a = а₀ = 5, H₁: а≠5.

9. Проектована точність бомбометання новою гарматою, а = а₀ (м). Проведено n випродувань цієї гармати та отримано наступні результати:

контрольований розмір               х_i     39,8     37,9     36,0      38,1        36,3

частота (кількість виробів)         n_i       1          4          5          8             5

Потрібно, при рівні значущості α =0,05, перевірити нульову гіпотезу Н₀:а = а₀ = 35 при конкуруючій гіпотезі Н₁: а ≠ 35.

а) α =0,05, Н₀:а = а₀ = 39, Н₁: а ≠ 39;

б) α =0,05, Н₀:а = а₀ = 38, Н₁: а ≠ 38;

в) α =0,05, Н₀:а = а₀ = 37, Н₁: а ≠ 37;

г) α =0,1, Н₀:а = а₀ = 39, Н₁: а ≠ 39;

10. Двома приладами в тому самому порядку виміряні 6 деталей і отримані наступні результати вимірів (у сотих частках мм):

x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = 5, x₄ = 6, x₅ = 8, x₆ = 10;

y₁ = 10, y₂ = 3, y₃ = 6, y₄ = 1, y₅ = 7, y₆ = 4.

При рівні значущості 0,05, установити, значимо або не значимо розрізняються результати вимірів, у припущенні, що вони розподілені нормально.

11. По n незалежних випробуваннях знайдена відносна частота  . При рівні значущості α, потрібно перевірити нульову гіпотезу H₀:р=р₀ при конкуруючій гіпотезі H₁: p ≠ р₀.

а) n =120, α =0,05,  =0,13, р₀=0,18;

б) n =110, α =0,05,  =0,23, р₀=0,2

в) n =90, α =0,02,  =0,21, р₀=0,23;

г) n =140, α =0,01,  =0,57, р₀=0,5.

12. Партія виробів приймається, якщо ймовірність того, що виріб виявиться бракованим, не перевищує 0,01. Серед випадково відібраних 450 виробів виявилося 10 бракованих. Чи можна прийняти партію?