6.4. Вывод уравнения для длины свободного пробега в газах

Для вычисления средней длины свободного пробега молекулы будем пользоваться моделью твердых шаров. Между столкновениями молекулы-шары движутся по инерции прямолинейно и равномерно. В момент столкновения между молекулами развиваются очень большие силы отталкивания, изменяющие их скорости по величине и направлению. Для упрощения расчета предположим, что движется только одна молекула с постоянной скоростью υ, а все остальные молекулы неподвижны. Введем понятие сферы ограждения молекулы S, диаметр которой 2d, где d – диаметр молекулы. Это связано с непроникновением молекул друг у друга, и при ударе расстояние между центрами молекул шаров составляет d. Между двумя последовательными столкновениями сфера ограждения молекулы описывает цилиндр, длина которого и есть длина свободного пробега молекулы. Из таких цилиндров и складывается пространственная фигура, описываемая с течением времени сферой ограждения.

2d

Рис. 6.4.1. Схема пути частицы для расчета длины свободного пробега

Если центр другой молекулы лежит внутри или на боковой поверхности этого ломаного цилиндра, то она столкнется с нашей молекулой. Пусть V объем ломаного цилиндра, описываемого сферой ограждения молекулы S в единицу времени. Среднее число столкновений z движущейся молекулы с остальными молекулами в единицу времени равно среднему их числу в объеме V, то есть

z = nV (30)

где n число молекул в единице объема – концентрация молекул.

Мы предполагаем, что средняя длина свободного пробега l очень велика по сравнению с диаметром сферы ограждения 2d. Тогда можно пренебречь теми частями объема V, которые приходятся под изломы цилиндра, то есть при вычислении объема V цилиндр считать прямым, а его длину приравнять к расстоянию, пройденному молекулой в единицу времени, или к скорости υ. При этом объем

V= υπd² (31)

Подставив (31) в (30) получаем выражение для среднего числа молекулярных столкновений

z=n υπd² (32)

Путь, пройденный молекулой за единицу времени, равен υ. Разделив его на среднее число столкновений, получим среднюю длину свободного пробега l

l = (33)

Строгий вывод формулы был дан Максвеллом с учетом максвелловского распределения молекул по скоростям, который отличается от формулы (33) множителем √2

l = (34)

6.5. Физический смысл коэффициента вязкости и вывод формулы для его расчета.

Коэффициент вязкости является характеристикой действия сил внутреннего трения. С молекулярной точки зрения происхождение сил внутреннего трения объясняется следующим образом. Если бы газ покоился, то все направления скоростей его молекул были бы равновероятны. Средняя скорость и среднее количество движения каждой молекулы были бы равны нулю. При наличии упорядоченного движения газа средняя скорость молекул не нуль, а равна u=u(x). С этой скоростью связано количество упорядоченного движения p=mu, которым обладает рассматриваемая молекула. Пусть молекулы, лежащие над плоскостью АВ, обладают большим количеством движения (представим себе пограничный слой над обтекаемым телом, имеющий определенный профиль скорости). Переходя из пространства над плоскостью АВ (см. рис. 6.5.1) в пространство под ней, молекулы передают часть своего упорядоченного количества движения молекулам, с которыми они сталкиваются в пространстве ниже плоскости АВ. Это проявляется в том, что газ, расположенный ниже этой плоскости, подвергается действию силы, направленной в сторону скорости u. Аналогично, более медленные молекулы, попадая из нижнего подпространства в верхнее, при столкновениях отнимают часть упорядоченного количества движения у молекул, расположенных над плоскостью АВ. В результате газ в верхнем подпространстве испытывает тормозящую силу, направленную против скорости u. Эти силы являются силами внутреннего трения.

Исследуем явление внутреннего трения количественно. Будем считать скорости теплового хаотичного движения молекул одинаковыми и равными υ. При этом все молекулы движутся равновероятно в шести одинаковых потоках по осям координат ±X, ±Y, ±Z. Таким образом, одна шестая будет двигаться сверху вниз, одна шестая снизу вверх. Только эти молекулы и будут участвовать в передаче количества движения. Остальные четыре потока движутся параллельно плоскости АВ. Они влияют на длину свободного пробега l, но к передаче количества движения через площадку АВ прямого отношения не имеют. На каждое направление приходится число молекул

N = 1/6 nυ (35)

X

υ

dN⁺ u

А В

0 S Y

dN^- υ

Рис. 6.5.1. Схема для расчета коэффициента вязкости

Возьмем на плоскости АВ единичную площадку S. Среднее число молекул, пересекающих площадку S сверху вниз, определяется формулой (35). В единицу времени dt через площадку S как сверху вниз, так и снизу вверх определяется формулой

dN=1/6 nυSdt (36)

Передача импульса происходит при каждом столкновении, которое происходит на расстоянии, равном длине свободного пробега l. При этом между столкновениями импульс частиц практически не меняется, поэтому его можно представить первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора по l:

p=p₀ ± l∙ (37)

Тогда сверху вниз через площадку S переносится импульс

dN⁺ p=1/6 nυSdt (p₀ + l∙ ) (38)

И аналогично снизу вверх теряется импульс

dN^- p=1/6 nυSdt (p₀ - l∙ ) (39)

Сумма перенесенного импульса в направлении оси Х составит:

− dN⁺ p + dN^- p = −1/3 nυSdt l (40)

Этот перенос импульса проявляется в том, что вдоль площадки S действует касательное напряжение, согласно ньютоновского закона внутреннего трения

τ_xy = μ = − ∑ p =1/3 nυ l = 1/3 nυlm (41)

Отсюда коэффициент вязкости равен

μ = 1/3 nυlm (42)