Задание 3

Структурная схема надежности приведена на рис 3.1. Значения интенсивности отказов элементов даны в 1/ч

Рис. 3.1. Исходная схема системы

1. В исходной схеме элементы 2, 3 и 4 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом A. Учитывая, что , получим

(3.1)

2. Элементы 5 и 6 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом B. Учитывая, что , получим

(3.2)

3. Элементы 8 и 9 в исходной схеме соединены так же параллельно. Заменяем их элементом С, для которого при

(3.3)

4. В исходной схеме элементы 10, 11 и 12 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом D. Учитывая, что , получим

(3.4)

5. Элементы 13 , 14 и 15 образуют соединение “2 из 3”, которое заменяем элементом E. Так как , то для определения вероятности безотказной работы элемента F можно воспользоваться комбинаторным:

(3.5)

6. Преобразованная схема изображена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Преобразованная схема

Элементы A, B, C, D и 7 образуют (рис. 3.2) мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом F.

7. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом разложения относительно особого элемента, в качестве которого выберем элемент 7. Тогда

(3.6)

где - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при абсолютно надежном элементе 7 (рис. 3.3, а), - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при отказавшем элементе 7 (рис. 3.3, б).

а б

Рис. 3.3. Преобразования мостиковой схемы при аболютно надежном (а) и абсолютно ненадежном (б) элементе 7.

Получаем формулу для элемента F:

(3.7)

8. В преобразованной схеме (рис. 3.4) элементы 1, F и E образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы

(3.8)

Рис. 3.4. Преобразованная схема

9. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 14 (рис. 3.1) подчиняются экспоненциальному закону:

(3.9)

10. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 - 14 исходной схемы по формуле (3.9) для наработки до часов представлены в таблице 3.1.

11. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C, D, E и F по формулам (3.1) - (3.7) также представлены в таблице 3.1.

12. На рис. 3.5 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.

13. По графику (рис. 3.5, кривая P) находим для - процентную наработку системы ч.

14. Проверочный расчет при ч показывает (таблица 3.1), что .

15. По условиям задания повышенная - процентная наработка системы ч.

Рис. 3.5. Изменение вероятности безотказной работы исходной системы (Р), системы с повышенной надежностью (Р`) и системы со структурным резервированием элементов (Р``).

16. Расчет показывает (таблица 3.1), что при ч для элементов преобразованной схемы (рис. 3.4) , и .

Следовательно, из трех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент F (мостиковая система в исходной схеме (рис. 3.1)) и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом. При этом самыми ненадежными элементами являются элемента 2-6 и 8-12.

17. Для того, чтобы при ч система в целом имела вероятность безотказной работы , необходимо, чтобы элемент F имел вероятность безотказной работы (см. формулу (3.8))

(3.10)

Очевидно, значение , полученное по формуле (3.10), является минимальным для выполнения условия увеличения наработки не менее, чем в 1.5 раза, при более высоких значениях увеличение надежности системы будет большим.

18. Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элементов 2-6 и 8-12 (рис. 3.1) необходимо решить уравнение (3.7) относительно при . Однако, т.к. аналитическое выражение этого уравнения связано с определенными трудностями, более целесообразно использовать графо-аналитический метод. Для этого по данным табл. 3.1 строим график зависимости . График представлен на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Зависимость вероятности безотказной работы мостиковой системы F от вероятности безотказной работы ее элементов.

19. По графику при находим .

20. Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону (3.9), то для элементов 2-6 и 8-12 при находим

ч . (3.11)

21. Таким образом, для увеличения - процентной наработки системы необходимо увеличить надежность элементов 2-6 и 8-12 и снизить интенсивность их отказов с до ч , т.е. в 2.24 раза.

22. Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элементов приведены в таблице 3.1. Там же приведены расчетные значения вероятности безотказной работы системы F` и системы в целом P`. При ч вероятность безотказной работы системы , что соответствует условиям задания. График приведен на рис 3.5

23. Для второго способа увеличения вероятности безотказной работы системы - структурного резервирования также выбираем элемент F, вероятность безотказной работы которого после резервирования должна быть не ниже (см. формулу ( 3.10 )).

24. Для элемента F – мостиковой системы – резервирование означает дублирование элементов, работоспособность которых влияет на надежность системы в целом. Для резервирования возьмем элемент 7, как самый ненадежный в укрупненной схеме (рис. 3.2, табл. 3.1)

Аналитически определить минимально необходимое количество элементов невозможно, т.к. число элементов должно быть целым и функция дискретна.

25. Для повышения надежности мостиковой системы F добавляем к ней параллельно элемент 7*, идентичный по надежности исходному элементу 7.

При добавлении первого же элемента получаем:

(3.12)

Таким образом простое добавление параллельно элемента 7*, к самому ненадежному элементу 7 дало результат, превышающий ожидаемый.

26. Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня необходимо в схеме (рис. 3.2) мостиковую систему достроить элементом 7* (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Структурная схема системы после структурного резервирования.

27. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы системы F`` и системы в целом P`` представлены в таблице 3.1.

28. Расчеты показывают, что при ч , что соответствует условию задания.

29. На рис. 3.5 нанесены кривые зависимостей вероятности безотказной работы системы после повышения надежности элементов 2-6 и 8-12 (кривая ) и после структурного резервирования (кривая ).

Выводы

1. На рис. 3.5 представлена зависимость вероятности безотказной работы системы (кривая ). Из графика видно, что 90% - наработка исходной системы составляет часов.

2. Для повышения надежности и увеличения 90% - наработки системы в 1.5 раза (до часов) предложены два способа:

а) повышение надежности элементов 2-6 и 8-12 и уменьшение их отказов с до ч , т.е. в 2.24 раза;

б) нагруженное резервирование элемента 7 идентичным по надежности резервныи элементом 7* (рис. 3.7).

3. Анализ зависимостей вероятности безотказной работы системы от времени (наработки) (рис. 3.5) показывает, что второй способ повышения надежности системы (структурное резервирование) предпочтительнее первого, так как в период наработки до часов вероятность безотказной работы системы при структурном резервировании (кривая ) выше, чем при увеличении надежности элементов (кривая ).