§2. Основные понятия теории погрешностей. Общая формула вычисления погрешности

При изложении ответа на этот вопрос следует дать понятия точного и приближенного числа, абсолютной и относительной, предельных абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа, источников погрешностей, сформулировать основную задачу теории погрешностей, получить общие формулы вычисления погрешностей и применить их для оценки погрешностей арифметических операций и элементарных функций.

Как правило, при решении реальных вычислительных задач исходные данные получаются в результате измерений при помощи приборов, а следовательно, не могут быть точными величинами.

Приближенным называется число, незначительно отличающееся от точного и заменяющее последнее в вычислениях. Пусть A – точное, а a – приближенное значения числа. Абсолютная погрешность (в дальнейшем погрешность) приближенного числа Δa определяется как абсолютная величина разности между точным и приближенным значениями .

Относительная погрешность δa характеризует качество измерений и определяется следующим образом:

.

Так как введенные определения содержат точное значение числа, которое обычно неизвестно, то на практике используются предельные абсолютная h и относительная ε погрешности, которые определяются следующим образом: . Таким образом, . Последнее неравенство принято записывать в виде: . При этом значения h и ε стараются подобрать по возможности меньшими. Так, если приближенное значение получено в результате измерения, то h определяется точностью прибора, а величину предельной относительной погрешности вычисляют по формуле . К основным понятиям теории погрешности относятся также понятия значащих цифр и верных знаков приближенного числа.

Основная задача теории погрешностей: Пусть известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин.

Для функции одной переменной , где x – заданное приближенное значение аргумента с погрешностью Δx, погрешность значения функции по определению и вычисляется по формуле

(1)

Для функции n переменных , где x_i– заданные приближенные значения аргументов с погрешностями Δx_i (i=1,2, …, n), погрешность находится по формуле

(2)

§3. Метод Ньютона решения алгебраических и трансцендентных уравнений

При изложении ответа на этот вопрос следует дать определения корня уравнения, изолированного корня, отделения корней, итерационных методов, рассказать алгоритм метода Ньютона, доказать теорему о достаточном условии сходимости и получить оценку погрешности.

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то его сравнительно редко удается решить точно. Более того, в некоторых случаях коэффициенты уравнения известны лишь приближенно, и сама задача о точном определении корней теряет смысл. Поэтому важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки их точности. Пусть дано уравнение

, (3)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что f(ξ)=0, называется корнем уравнения (3). Будем предполагать, что уравнение (3) имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого из них существует окрестность, не содержащая другие корни. Решить уравнение (3) численными методами – это значит определить, имеет ли оно корни, сколько их и найти корни с заранее заданной точностью. Для решения уравнений вида (3) разработано много различных итерационных методов. Сущность этих методов заключается в следующем.

Пусть известна достаточно малая область [a,b], в которой содержится единственный корень ξ уравнения (3). В этой области выбирается точка x₀ – начальное приближение – и строится последовательность точек x₁,x₂,…x_n,…, сходящаяся к ξ, с помощью некоторого рекуррентного соотношения

(4)

Выбирая различными способами функции φ_k, которые зависят от функции f и номера k, можно получить различные методы.

Найдя n-е приближение x_n ( ), мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Положим , (5)

где h_n считаем малой величиной. Отсюда, применяя формулу Тейлора, получим .Следовательно, . Подставив это выражение в (5), получим

(6)

Теорема 2. Если , причем и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно вычислить корень ξ уравнения (3) с любой степенью точности, пользуясь итерационной формулой (6).

Оценку погрешности приближения метода Ньютона можно получить в виде: , где , .