4.3.2 Метод хорд

Метод хорд є одним з найбільш поширених методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. В літературі він також зустрічається під назвою "метод лінійного інтерполювання" і "метод пропорційних частин".

Постановка задачі

Розглянемо рівняння , де неперервна нелінійна функція, яка на відрізку монотонна, диференційована і має єдиний корінь (тобто ). Потрібно знайти наближене значення кореня з заданою похибкою .

Суть методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому відрізку дуга функції замінюється хордою ab, яка її стягує. За наближене значення кореня приймається точка х₁ перетину хорди з віссю (рис.4.11.а).

     Рисунок 4.11 – Графічна інтерпретація методу хорд і процедури визначення рухомого кінця хорди

Рівняння хорди, яка проходить через точки має вигляд

          (4.4)

Знайдемо значення , для якого , тобто для нерухомого кінця:

          (4.5)

Ця формула називається формулою методу хорд. Тепер корінь знаходиться всередині відрізка . Значення кореня можна уточнити за допомогою метода хорд на відрізку , тоді нове наближене значення кореня х₂ знаходиться за формулою

     .

Аналогічна для всякого -го наближення до точного значення кореня даного рівняння використовується формула:

          (4.6)

Процес стягування хордою продовжується багаторазово доти, поки не одержано наближений корінь із заданим степенем точності

          (4.7)

де – наближені значення коренів рівняння , відповідно на і -му ітераційному кроці; – задана точність обчислень.

Слід відмітити, що розглянутий випадок (рис.4.11.а) перетину функції відрізку не є єдиним. Існує ще три варіанти перетину функції, кожний з яких відрізняється напрямком побудови хорд і відповідно рухомими кінцями відрізку. Наприклад, на рис.4.11.а,б рухомий кінець відрізку а, а на рис.4.11.в,г рухомий кінець – і відповідно формула 4.5 для нього має вигляд:

    

Для автоматизації цього алгоритму необхідно розробити правило для автоматичного вибору рухомого кінця хорди і відповідно формули для обчислення наближеного значення кореня. Існує два правила визначення рухомого кінця хорди.

Правило 1. Нерухомим кінцем відрізка є той, для якого знак функції співпадає із знаком другої похідної. Якщо , то нерухомим є кінець , а всі наближення до кореня лежать зі сторони кінця . Якщо , то нерухомим є кінець , а всі наближення до кореня лежать зі сторони кінця (рис.4.11.а,б,в,г).

Правило 2. Якщо добуток першої на другу похідну функції більший за нуль: , то рухомий кінець ; якщо добуток першої на другу похідну менший за нуль: , то рухомий кінець .

http://posibnyky.vntu.edu.ua/chis_met/lek4.htm

13