23.2. Градієнтні методи оптимізації рішення (методи Ньютона та Флетчера-Пауела).

Метод Ньютона

 Если f(x) является дважды дифференцируемой в Rⁿ, то эффективность процесса поиска точки х* ее минимума можно повысить, используя информацию не только о градиенте этой функции, но и о ее матрице Гecce H(x). Алгоритмы такого поиска обычно относят к методу Ньютона. В простейшем варианте алгоритма на каждой k-й итерации целевая функция аппроксимируется в окрестности точки xk-1 (на первой итерации в окрестности начальной точки х0) квадратичной функцией и затем определяется точка xk минимума функции . На следующей, (k+1)-й итерации строится новая квадратичная аппроксимация уже в окрестности точки xk.

при выполнении условий непрерывности любую функцию можно аппроксимировать в окрестности точки x₀ функцией

(x)=f(x)+(x-x₀)^T*  f(x₀)+(1/2) * (x-x₀)^T*G(x₀)* (x-x₀)

Разумной аппроксимацией минимума функции f(x) может быть минимум функции j(x). Если последний находится в точке x_m, то

С f(x₀)+G(x₀)(x_m-x₀)=0,

откуда

x_m=x₀-G^-1(x₀)* С f(x₀),

или

x_m=x₀-G^-1* g(x₀)    

 В методе Флетчера-Пауэлла не требуется на каждом шаге вычислять обратный гессиан G^-1(x_i) так как направление поиска на шаге i является направлением -H_ig(x_i), где H_i - положительно определенная симметричная матрица, которая обновляется на каждом шаге. В пределе матрица H становится равной обратному гессиану.

Начнем поиск из начальной точки x₀, взяв в качестве начальной матрицу H₀(единичная матрица) Итерационная процедура может быть представлена следующим образом (вместо g(x_i) удобнее писать g_i):

На шаге i имеется точка x_i и положительно определенная симметрическая матрица H_i.

В качестве направления поиска взять направление d_i=-H_i* g_i

Чтобы найти функцию l_i, минимизирующую функцию f(x_i+l_id_i), произвести одномерный поиск вдоль прямой x_i+l* d_i.

Найти v_i=l_i* d_i.

Найтиайти x_i+1=x_i+v_i.

Найти f(x_i+1) и g_i+1.Завершить процедуру, если величины |g_i+1| или |v_i| достаточно малы. В противном случае продолжить.

Замечание. Из соотношения ( g(x_i+1)^Tp_i=0, где p_i-направление с целью нахождения минимума в точке) следует, что g_i+1^T* v_i=0.

Найти u_i=g_i+1 - g_i.

Обновить матрицу H следующим образом:

H_i+1=H_i+A_i+B_i,

где

A_i=v_i* v_i^T/(v_i^T* u_i);

B_i=-H_i*u_i u_i^T*H_i/ (u_i^T*H_i u_i).

Увеличить i на единицу и начать снова.

24.1. Робота з шарами в AutoCad. Поділ рисунка по шарах.

Шари-Слои-layer

Построенные объекты всегда размещаются на определенном слое. С каждым слоем связаны заданные цвет, тип, вес (толщина) линии и стиль печати. Размещая различные группы объектов на отдельных слоях, можно структурировать рисунок.

   Например, можно создать отдельный слой для размещения осевых линий, назначить ему голубой цвет и штрихпунктирный тип линии CENTER. Впоследствии, если потребуется построить осевую линию, достаточно переключиться на этот слой и начать рисование. Таким образом, перед каждым построением осевых линий не требуется вновь устанавливать их цвет и тип. Кроме того, при необходимости отображение слоя можно отключить.  Работая в пространстве листа можно установить видимость слоя индивидуально для каждого видового экрана. Для всех слоев действуют одни и те же установки лимитов рисунка, системы координат и коэффициента экранного увеличения. Если какая-либо совокупность слоев используется часто, то эти слои, цвета и типы линий рекомендуется сохранить в шаблоне. Управление установками свойств слоев осуществляется в диалоговом окне Layer Properties Manager, показанном на .Оно загружается из падающего меню Format => Layer .При создании нового рисунка автоматически создается слой, названный 0, которому присваиваются белый цвет, непрерывный тип линии Continuous, вес (толщина) линии Default, по умолчанию соответствующий толщине 0.25 мм. Этот слой не может быть удален и переименован.

   Слои обладают следующими свойствами:

   • Status — состояние слоя. Назначение слою статуса текущего;

   • Name — имя слоя. Состоит из алфавитно-цифровой информации, включающей специальные символы и пробелы;

   • On — видимость слоя. При этом на экране изображаются только те примитивы, которые принадлежат видимому слою, однако примитивы в скрытых слоях являются частью рисунка и участвуют в регенерации;

   • Freeze — замораживание слоя. Означает отключение видимости слоя при регенерации и исключение из генерации примитивов, принадлежащих замороженному слою;

   • Lock — блокировка слоя. Примитивы в блокированном слое отображаются, но их нельзя редактировать. Блокированный слой можно сделать текущим, рисовать в нем, замораживать и применять к его примитивам команды справок и объектную привязку;

   • Color — цвет примитивов заданного слоя;

   • Linetype — тип линии, которым будут отрисовываться все примитивы, принадлежащие слою;

   • Lineweight — вес (толщина) линии, которой будут отрисовываться все примитивы, принадлежащие слою;

   • Plot style — стиль печати для заданного слоя;

   • Plot — разрешение/запрет вывода слоя на печать;

   • Description — описание слоя.

Для создания нового слоя необходимо щелкнуть мышью по пиктограмме New Layer (Alt+N), находящейся в верхней части диалогового окна Layer Properties Managerсоздается слой, по умолчанию названный Layer1. Далее все новые слои автоматически именуются Layer2, Layer3 и т. д. -в порядке их создания. Чтобы присвоить слою уникальное имя, необходимо двойным щелчком мыши по текущему названию активизировать поле ввода текста, а затем набрать имя с клавиатуры и нажать клавишу Enter.

   Если при создании нового слоя выделен один из имеющихся, то новый слой наследует его свойства. При необходимости свойства нового слоя можно изменить.

   Все вновь создаваемые в AutoCAD объекты размещаются на текущем слое. При установке нового текущего слоя все объекты будут создаваться на нем с использованием назначенных ему цвета и типа линии. Замороженные и зависимые от ссылок слои нельзя сделать текущими.

Для того чтобы сделать слой текущим, необходимо установить указатель мыши в графе Status соответствующего слоя и щелкнуть по пиктограмме Set Current (Alt+C), находящейся в верхней части диалогового окна Layer Properties ManagerСделать слой текущим можно двойным щелчком мыши в графе Status соответствующего слоя или использовать системную переменную CLAYER.