33. Функціональні ряди і послідовності. Рівномірна збіжність. Критерій

рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштрасса, Абеля, Діріхле.

Ознака Вейєрштрасса. Нехай (2); визначена для і 1) ; 2) ; тоді (2) збігається абсолютно і рівномірно до своєї суми, .

Доведення. Перевіримо виконання критерію Б-К рівномірної збіжності. Розглянемо ( –мажоранти для ). Для цього ряду можна сформулювати критерій Б-К збіжності числового ряду. Для , що для і для . Треба показати, що для ; .Треба знайти , щоб виконувалась . . . Видно, що є рівномірна збіжність і ряд крім того, а також ряд з абсолютних величин також рівномірно збігається. Цю ознаку добре застосовувати для таких рядів: . Якщо послідовність або ряд рівномірно збігається, то яку б ми послідовність чисел не взяли, таку що , то завжди члени ряду можна взяти в дужки так, щоб утворений ряд мав ряд за мажорантом . Ще є дві ознаки рівномірної збіжності. Це ознак Абеля і Діріхле, але тут ряди збігаються рівномірно, але не абсолютно.

Ознака Абеля і Діріхле. (1). .

Ознака Абеля. Нехай: 1) ряд складений з збігається рівномірно до своєї суми , ; 2) , при кожному фіксованому , монотонна функція по і обмежена для . Тоді

Доведення. Ознака Абеля для ряду (*) читається так: Якщо 1) ; 2) –монотонна послідовність по і , то ряд (*) збігається умовно, . Доведення цієї ознаки ґрунтується на перетвореннях Абеля. При кожному фіксованому ряд (1) є числовим рядом, до якого застосована ознака Абеля (*), тому при кожному фіксованому . При кожному фіксованому справедлива теорема Абеля. Отже, , де роль відіграє , а всі обмежені. Аналогічно доводиться ознака Діріхле як для числових рядів.

Ознака Діріхле. Нехай: 1) ; 2) і при кожному фіксованому , монотонна функція по , тоді .

34. Степеневі ряди.Інтервал і радіус збіжності.Абсолютна,умовна і рівномірна збіжність.

; ,…, ,… ; ; ; -- коефіцієнти . Щоб надати змісту цьому символу,розглянемо дійсне x і фіксуємо його. Якщо при фіксов.

-збігається,то це є [ = .

Знайдемо ,при яких (1)-збіж. Ця множина іксів назив.областю збіж. (1),тому сума (1) є функцією , яка визначена на тих х, де є збіж. цього ряду.яка ж обл. збіж. Ряду (1)?

(1)-степеневий. Для зручності , тоді ;

Теорема Абеля:Якщо ряд збіг. в точ. ,то ряд збіг. в ,які На цьому інтервалі для всіх точ.є збіж. Областю збіж може бути інтервал,вся вісь,або точ. 0.

Доведення. ; Викон.умова збіж. Загальний член ; __має границю,то вона обмежена. Тому для , ,що Запишемо ряд для ,що ,тоді Доведено.

Областю збіж може бути інтервал,вся вісь,або точ. 0. R-половина довжини інтервалу,то це радіус збіжності. R=0; R=+ ; R-знаходимо за ознакою Коші або Даламбера.

Знаходження радіуса збіж.степ.ряду.Маємо ряд ; -загаль.член ряду.

; Необх.умова , . З теореми Абеля ,то .

Розгляд. ,то Застос.ознаку Даламбера ; ,тоді (4) і (1) збіж.; = -достатня умова збіж.за ознакою Даламбера. ; Проаналізуємо (6).

1) =0; = . Для викон.(6).

2) =+ . Якщо , то (6 не викон. Степ.ряд розбіжний. Збіжний тільки в одній точ. і радіус збіж. R=0. ( ) = =0

3) =А ; ; -радіус збіжності.

-інтервал збіжності. З аналізу 1),2),3) маємо . В кожній точ.інтервалу збіж.ряд (1) збіг.абсолютно.Виникає питання,що робиться на кінцях інтервалу.Накінцях інтервалу можуть бути різні випадки залежно від ряду,їх треба досліджувати окремо.

;