Вычисление числа π методом численного интегрирования

Известно, что

Заменяя вычисление интеграла конечным суммированием, имеем , где , n-число участков суммирования при численном интегрировании. Площадь каждого участка вычисляется как произведение ширины ‘полоски’ на значение функции в центре ‘полоски’, далее площади суммируются главным процессом (используется равномерная сетка).

Очевидно, что распараллеливание этой задачи легко сделать, если каждый процесс будет считать свою частичную сумму, а затем передаст результат вычислений главному процессу. Как избежать здесь повторяющихся вычислений? Процесс должен знать свой ранг, общее число процессов и число интервалов, на которое будет разбит отрезок (чем больше интервалов, тем выше будет точность). Тогда в цикле от 1 до числа интервалов процесс будет вычислять площадь полоски на i-ом интервале, а затем переходить не на следующий i+1интевал, а на интервал i+m, где m-число процессов. Как мы уже знаем, для получения ранга и общего числа процессов существуют функции MPI_Comm_rank и MPI_Comm_size. Перед началом вычислений главный процесс должен передать всем остальным число интервалов, а после вычислений собрать у них полученные частичные суммы и просуммировать их, в MPI это реализуется передачей сообщений. Для передачи сообщений здесь удобно использовать функцию коллективного взаимодействия MPI_Bcast, которая рассылает одинаковые данные от одного процесса всем остальным. Для сбора частичных сумм есть 2 варианта - можно использовать MPI_Gather, которая собирает данные со всех процессов и отдает их одному (получается массив из m элеменов, где m-число процессов) или MPI_Reduce. MPI_Reduce действует аналогично MPI_Gather – собирает данные от всех процессов и отдает одному, но не в виде массива, а предварительно производит определенную операцию между элементами массива, например, суммирование и после этого отдает один элемент. Для этой задачи более удобным выглядит использование MPI_Reduce. Текст программы приведен ниже

#include "mpi.h"

#include <stdio.h>

#include <math.h>

double f(double a)

{

return (4.0 / (1.0 + a*a));

}

int main(int argc, char *argv[])

{

int n, myid, numprocs, i;

double PI25DT = 3.141592653589793238462643;

double mypi, pi, h, sum, x;

double startwtime, endwtime;

MPI_Init(&argc,&argv);

MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD,&numprocs);

MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD,&myid);

n = 0;

if (myid == 0)

{

n=100;

startwtime = MPI_Wtime();

}

MPI_Bcast(&n, 1, MPI_INT, 0, MPI_COMM_WORLD);

h = 1.0 / (double) n;

sum = 0.0;

for (i = myid + 1; i <= n; i += numprocs)

{

x = h * ((double)i - 0.5);

sum += f(x);

}

mypi = h * sum;

MPI_Reduce(&mypi, &pi, 1, MPI_DOUBLE, MPI_SUM, 0, MPI_COMM_WORLD);

if (myid == 0)

{

printf("pi is approximately %.16f, Error is %.16f\n",

pi, fabs(pi - PI25DT));

endwtime = MPI_Wtime();

printf("wall clock time = %f\n",

endwtime-startwtime);

}

MPI_Finalize();

return 0;

}

Рассмотрим подробнее вызовы функий MPI_Bcast и MPI_Reduce:

MPI_Bcast(&n, 1, MPI_INT, 0, MPI_COMM_WORLD) – содержимое переменной n и одного элемента типа MPI_INT из процесса с рангом 0 посылается всем остальным процессам (MPI_COMM_WORLD – все процессы в коммуникаторе ) в ту же переменную n. После этого вызова каждый процесс будет знать общее число интервалов. По окончании вычислений MPI_Reduce(&mypi, &pi, 1, MPI_DOUBLE, MPI_SUM, 0, MPI_COMM_WORLD) суммирует (параметр MPI_SUM) значения из переменных mypi типа MPI_DOUBLE каждого процесса и записывает результат в переменную pi процесса с рангом 0. Для замера времени вычислений главный процесс использует функцию MPI_Wtime.

double MPI_Wtime();

MPI_Wtime возвращает число секунд в формате числа с плавающей точкой, представляющее время, прошедшее с момента старта программы.