5.5. Активна ідентифікація нелінійних моделей.

Якщо математична модель процесу нелінійна, то, як і при пасивних методах, вона апроксимується поліномом. Однак при одержанні математичної моделі кількість необхідних дослідів при зростанні числа коефіцієнтів цього полінома різко збільшується. У зв'язку з цим потрібно інакше вирішувати питання про число рівнів, центр плану експерименту і принципи оптимальності, планів, що застосовуються. Рішення цих питань здійснюється різними методами. Найбільш широко в інженерній практиці для опису нелінійної області використовуються методи центрального композиційного рототабельного й ортогонального планування. При плануванні за допомогою цих методів необхідно насамперед вибрати нульову точку, число рівнів і принцип оптимальності.

За нульову точку приймається центр раніше використаного плану (наприклад, ПФЕ), що дає неадекватну лінійну модель (значимими виявляються ефекти взаємодії і квадратичні). При цьому проведені експерименти доповнюються спеціальними дослідами (такі плани називаються центральними композиційними). При використанні математичної моделі у виді полінома 2-го порядку двома рівнями варіювання факторів обмежитися не можна. Однак плани на трьох рівнях неекономічні з погляду кількості дослідів. Доповнивши дворівневий план ПФЕ визначеними точками факторного простору, можна одержати оптимальний план. Ядро центрального композиційного плану складає ПФЕ типу при п<5. Якщо п>5, то користуються дробовими репліками, що забезпечують роздільне визначення лінійних ефектів і ефектів взаємодії. План ПФЕ доповнюють деякою кількістю так званих “зоряних” точок, координати яких залежать від прийнятого принципу оптимальності. Загальна кількість дослідів при такому плануванні визначається формулою

,

де доданки — відповідно число дослідів ПФЕ, “зоряних” і нульових точок.

Розглянемо побудову найбільш розповсюдженого типу планів 2-го порядку — центрального композиційного плану: центральні — внаслідок симетричності щодо центра плану, композиційні — тому що вони компонуються додаванням визначеного числа дослідів до плану 1-го порядку. У цьому велика перевага таких планів: якщо рівняння 1-го порядку неадекватно описує об'єкт, то не потрібно ставити всі досліди заново, а досить додати точки - добудувати план до плану 2-го порядку.

До точок повного факторного експерименту додаються точки в центрі плану (одна або декілька паралельних) і точки, розташовані на всіх осях координат на відстанях від центра. Точки на осях називають зоряними точками, а величину — зоряним плечем. Для різних планів зоряне плече може бути різним.

Матриця такого плану для двох незалежних змінних (план 2-го порядку при ) має вид

	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	-1

Загальне число точок плану 2-го порядку дорівнює , де — число зоряних точок, — число точок у центрі. Якщо план 1-го порядку —дробовий, то число точок плану 2-го порядку дорівнює .

При рототабельному плануванні і повному факторному експерименті зоряне плече ; для дробового факторного експерименту , де — дробність репліки ( - напіврепліка, — чверть репліки і т.д.).

Для вибору зоряного плеча , числа зоряних і нульових точок користуються даними табл. 4.5.

Таблиця 4.5

Параметри плану					Число змінних
			Для ПФЕ типу				для ДФЕ типу
	2	3		4		5		5
Число дослідів ядра матриці	4	8		16		32		16
Число зоряних точок	4	6		8		10		10
Число нульових точок	5	6		7		10		6
Зоряне плече	1,414	1,682		2,00		2,378		2,000

При рототабельному плануванні завдяки експериментальним точкам у центрі плану дисперсія значення всередині області експериментування постійна і не залежить від відстані до центра плану.

При обробці планів 2-го порядку потрібно значний обсяг обчислень.

При ортогональному плануванні до факторного експерименту чи дробовій репліці додають дослідів ( — число змінних), причому один з них — «центральний» , а в — «зоряні». У «зоряних» дослідах кожна з нормованих змінних по черзі приймає значення , а для інших змінних заданий основний рівень . При числі змінних ; 3 і 4 значення відповідно рівні 1; 1,215 і 1,414.

За результатами ортогонального планування визначають коефіцієнти рівняння регресії:

У ході оцінки адекватності при рототабельному і ортогональному плануванні розрахункове значення критерію Фішера визначають як відношення дисперсії адекватності до дисперсії досліду:

і порівнюють з табличним для ступенів волі і .