Примеры решения задач Задача 6.1
В банке проводится анализ наличия потенциальных кредитных ресурсов. Для этого требуется определить, сколько депозитов из 12500 должно попасть в выборку. Предыдущее обследование показало, что доля невостребованных в срок депозитов составила 27% от их общего числа. Обследование предполагает, что предельная ошибка доли невостребованных депозитов не должна превышать 3%, а вероятность расчетов должна быть не менее 0,997.
Решение. определим, какие данные имеются в условии: N = 12500; w = 27%, или 0,27; Δw = 3%, или 0,03; t = 3.
Расчет оптимальной численности следует производить по формуле (6.16), т.к. подобные обследования не предполагают повторного отбора.
Тогда оптимальная численность равна:
Следовательно, в банке достаточно обследовать 1703 депозита, или 13,6% от их общего числа (1703:12500 · 100 = 13,6%), чтобы определить объем потенциальных кредитных ресурсов.
Задача 6.2
Для изучения распределения работников госсектора по размерам заработной платы в городе проведено 10%-ное выборочное обследование. В результате учета 900 человек выявлено, что средняя зарплата работников составляет 10800 руб. со средним квадратическим отклонением 1200 руб. 10% работающих получают зарплату свыше 16000 руб.
Требуется с вероятностью 0,954 определить пределы среднего размера заработка одного работника госсектора в городе и пределы доли работников, получающих свыше 16000 руб.
Решение. В данном примере требуется определить пределы двух величин: среднего значения признака и доли жителей, получающих свыше 16000 руб.
Для исчисления пределов вначале следует рассчитать предельные ошибки выборочной средней и выборочной доли альтернативного признака.
Так как в условии не оговаривается, повторный или бесповторный отбор применялся при данном обследовании, по умолчанию предполагается бесповторный отбор. Объем выборки - 10%, следовательно, для расчета предельных ошибок выборочной средней и выборочной доли используются следующие формулы, полученные на основе формул (6.2) и (6.7); (6.5) и (6.8):
,
(6.17)
.
(6.18)
Коэффициент доверия (t) при вероятности 0,954 равен 2; дисперсию ( ) найдем, возведя в квадрат среднее квадратическое отклонение (12002 = =1440000); численность выборки (n) - 900 человек; численность генеральной совокупности (N) - 9000 человек; доля альтернативного признака (w) - 10% (в задачах данного типа доля альтернативного признака переводится в доли единицы, т.е. w = 0,1).
Тогда
,
Пределы среднего значения признака в генеральной совокупности находятся по формуле (6.9):
.
(6.9)
Тогда в нашем примере
Пределы доли альтернативного признака определим по формуле (6.11):
, (6.11)
Р = 0,1 ± 0,019,
0,081 ≤ Р ≤ 0,119.
Следовательно, с вероятностью 0,954 (т.е. в 954 случаях из 1000) мы можем утверждать, что средняя зарплата работников госсектора в городе будет не меньше чем 10724,1 руб. и не превысит 10875,9 руб.
Доля работников, получающих зарплату свыше 16000 руб., колеблется от 8,1 до 11,9%.