1. Опишите основные принципы дедукции на основе байесовского подхода.

Наиболее вероятная гипотеза определяется на основе анализа (учета) признаков, каждый из которых либо присутствует, либо отсутствует.

Приведем классическое определение вероятности.

Пусть Ω – пространство элементарных событий, А - подмножество элементарных событий (А Ω) при которых наблюдается событие А. Тогда вероятность события А определится как .

Если события А и В несовместимы, то P(A+B) =P(A)+P(B). Отсюда =1-Р(А) - вероятность того, что событие А ложно. Если А₁, А₂, А₃,…, А_n несовместимые события и =Ω, то = =1.

Пусть Н - событие, заключающееся в том, что данная гипотеза верна. Пусть Е - событие, заключающееся в том, что наступило определенное доказательство (свидетельство), которое может или не может подтвердить правильность указанной гипотезы.

Априорная вероятность – (prior probability) часто называемая безусловной вероятностью события – это вероятность, присваиваемая событию при отсутствии знания, поддерживающего его наступление.

Тогда Р(Н)- априорная вероятность того, что событие Н истинно при отсутствии каких-либо свидетельств.

Р(Е)- вероятность того, что событие Е произошло. Вероятности являются числами в диапазоне от 0 до 1. Если вероятность равна 0, то данное событие не произойдет никогда, если вероятность равна 1, то данное событие происходит всегда.

Апостериорная вероятность - (posterior probability) часто называемая условной вероятностью события – это вероятность события при некотором заданном основании (учете подтверждающего знания, свидетельства).

Тогда Р(Н|Е) или Р(H| )- апостериорная вероятность гипотезы Н при наличии или отсутствии свидетельства Е.

На рис.1.1 показано пересечение событий H и E. В соответствии с диаграммой (см. рис.1.1) условная вероятность Р(Н|Е) события H при условии, что событие E произошло, определяется формулой P(H|E)= . Отсюда поделив числитель и знаменатель на |Ω| получим P(H|E)= , так как согласно классическому определению P(H&E)= |H&E| / |Ω|, а P(E)= |E| / |Ω|. Аналогичным образом получим P(E|H)= .

Преобразуем полученные выражения.

P(H|E)* P(E) = P(H&E) (1.1)

P(E|H)*Р(Н) = P(H&E) (1.2)

Приравняем левые части выражений (1.1) и (1.2), так как правые части равны.

P(H|E)*P(E) = P(E|H)*Р(Н).

Отсюда получаем формулу Байеса

P(H|E)= .

Событие Е может происходить в двух случаях – когда H произошло, и когда нет (см. рис.1.1), т.е. E =(E&H)+ (E& ).

Рис.1.1. Пересечение событий H и E.

Тогда P(E)=P(E&H)+ P(E& ). Используя выражение (1.2) получим

P(E)= P(E|H)*Р(Н)+ P(E| )*Р( ) (1.3)

С учетом этого формула Байеса примет вид

P(H|E)= . (1.4)

Или, если мы нашли, что свидетельство Е отсутствует, то:

P(H| )= . (1.5)

Байесовская теория вероятностей составляет математическую основу для рассуждений в условиях неопределенности.

Формула Байеса позволяет определить вероятность гипотезы (болезни) при условии существования признаков (симптомов) и по вероятностным данным признаков.

На первом шаге пересчитываются вероятности всех гипотез H₁ - H_n с учетом признака Е₁. Он может либо присутствовать, либо отсутствовать. Поэтому в первом случае это будет: {P(H₁|E₁); P(H₂|E₁); ...; (H_n|E₁)}, а во втором - {P(H₁| ); P(H₂| ); ...; (H_n| )}. На втором шаге вначале все априорные вероятности P(H_i) заменяются величинами, рассчитанными на первом шаге, т.е. на P(H_i|Е₁) или P(H_i| ). Затем пересчитываются вероятности всех гипотез с учетом второго признака и т.д.