Розділ 2. Оцінка параметрів множинної лінійної, перевірка їх статистичної значущості та визначення якості побудованої моделі

В MS Excel параметри лінійної регресії за допомогою методу найменших квадратів та додаткову регресійну статистику можна отримати за допомогою статистичної функції ЛИНЕЙН або інструменту аналізу «Регресія». В рамках даних методичних вказівок розглянемо тільки інструмент аналізу «Регресія», який запускається через діалогове вікно надбудови «Аналіз даних» (рис 11).

Рис. 11. Діалогове вікно надбудови «Аналіз даних»

В діалоговому вікні інструмента аналізу «Регресія» (рис. 12) вкажемо вхідний інтервал залежної змінної та вхідні інтервали незалежних змінних та , причому вхідні інтервали всіх незалежних змінних вказуються в одному рядку (рис. 12). Якщо статистичні данні вводилися разом із назвою цих векторів, розташованих в першому рядку таблиці, необхідно поставити прапорець навпроти позначки «Мітки».

Під рівнем надійності тут (рис. 12) розуміється вірогідність для якої інструмент аналізу «Регресія» буде визначати довірчі інтервали параметрів та проводити інші статистичні розрахунки. Оскільки перевірка статистичної значущості коефіцієнтів кореляції проводилася для рівня значущості 0,1 тобто вірогідності 0,9, цей рівень вірогідності будемо використовувати і надалі (рис. 12).

Якщо рівняння лінійної регресії будується із використанням параметру , тоді навпроти позначки «Константа – нуль» прапорець не встановлюється (рис. 12). Також модель можу будуватися без параметру у вигляді:

, (11)

де – оцінки параметрів регресії

Якщо встановити прапорець навпроти позначки «Константа – нуль» модель множинної лінійної регресії оцінюється у вигляді (11) при цьому приймається, що параметр

Рис. 12. Діалогове вікно інструменту аналізу «Регресія»

Також необхідно визначити параметри виведення даних отриманих за допомогою інструменту аналізу «Регресія». В даному випадку зручніше за все вивести отримані дані на новий аркуш MS Excel, назву якого необхідно вказати (рис. 12).

Результати розрахунків інструменту аналізу «Регресія» представлені на рис. 13. Однак опис цих результатів містить значні розбіжності із загальноприйнятою вітчизняною термінологією. Послідовно розглянемо усі отримані в результаті розрахунків таблиці.

Перша таблиця «Регресійна статистика» (рис. 13) містить у собі наступні результати. Під «Множинний R» тут розуміється множинний коефіцієнт кореляції, який характеризує тісноту звязку між залежною змінною моделі та усім набором незалежних змінних. Розрахунок множинного коефіцієнту кореляції необхідно було б віднести до кореляційного аналізу. Однак, через те, що його розраховує інструмент «Регресія» розглядаємо його в даному розділі.

Рис. 13. Результати оцінки параметрів та додаткові данні, отримані за допомогою інструменту аналізу «Регресія»

Під «R-квадрат» розуміється коефіцієнт детермінації, а під «Нормований R-квадрат» – скорегований коефіцієнт детермінації із поправкою на ступені свободи. Далі в цій таблиці вказана стандартна помилка регресії та кількість спостережень.

В таблиці «Дисперсійний аналіз» нас цікавить тільки значення величини (рис. 13), тобто фактичне значення критерію Фішера.

Другий стовпчик останньої третьої таблиці (рис. 13) містить у собі оцінки параметрів регресії зверху вниз відповідно, в третьому стовпчику записані значення стандартних помилок параметрів регресії , а в четвертому – фактичні значення критерію Ст`юдента для параметрів регресії (рис. 13). Порівняння фактичних та критичного значення критерію Ст`юдента, отриманого для рівня значущості та ступенів свободи дозволяє оцінити статистичну значущість параметрів регресії.

На рис. 14 наведені результати оцінки параметрів та додаткові данні, отримані за допомогою інструменту аналізу «Регресія» із виправленою термінологією.

Рис. 14. Уточнення термінології в таблицях регресійного аналізу

Стовпчики «Нижнє 95%» та «Верхнє 95%» містять нижню та верхню межі в яких може змінюватись оцінка параметру регресії при вірогідності 95%, відповідно стовпчики «Нижнє 90%» та «Верхнє 90%» – при вірогідності 90%. Наприклад довірчі інтервали для параметру будуть мати вигляд:

при вірогідності 95%; (12)

при вірогідності 90%. (13)

Довірчі інтервали параметру містять суперечливі результати, тому що містять в собі як від’ємні так і позитивні числа. Також перевірка статистичної значущості параметра показала, що ( ), тобто параметр статистично не значущий при рівні значущості 0,1 (або вірогідності 90%). Враховуючи суперечливість довірчих інтервалів та статистичну незначущість параметрів регресії відкинемо гіпотезу про те, що залежність об’ємів продажів від витрат на рекламу та розширення дилерської мережі має вигляд:

. (14)

Приймаємо гіпотезу про те, що ця залежність має вигляд (11). Виходячи із цього визначимо за допомогою інструменту аналізу «Регресія» параметри для моделі (11) (рис. 15), встановивши прапорець «Константа - нуль».

Рис. 13. Результати оцінки параметрів та додаткові данні

Порівнявши дві отримані моделі за скоригованими коефіцієнтами детермінації можна сказати, що модель побудована без параметру більш якісна, оскільки скорегований коефіцієнт детермінації для неї більший (0,898>0,85). Причому обидва коефіцієнта детермінації статистично значущі при вірогідності 0,9. Визначення критичного значення критерію Фішера показане на рис. 14. Таким, чином надалі будемо працювати із моделлю побудованою без параметра

Рис. 14. Результати перевірки статистичної значущості коефіцієнта детермінації

Хоча визначення множинного коефіцієнта кореляції відноситься до кореляційного аналізу, його визначає інструмент аналізу «Регресія». Тому висновки по ньому зробимо в рамках даного розділу. Множинний коефіцієнт кореляції дорівнює 0,999, що показує дуже тісний зв'язок між залежною змінною та усім набором незалежних змінних в моделі.

Враховуючі те, що усі змінні вимірюються у однакових одиницях можна дати наступну економічну інтерпретацію параметрам регресії:

1. Параметр отже кожна 1 тис.грн. вкладена у рекламу дасть збільшення об’ємів продажів на 4,556 тис.грн;

2. Параметр отже кожна 1 тис.грн. вкладена у розширення дилерської мережі дасть збільшення об’ємів продажів на 6,454 тис.грн;

3. Співвідношення таким чином в даному випадку вкладати кошти у розширення дилерської мережі вигідніше ніж у рекламу.

Оцінка параметра також є статистично значущою при вірогідності 0,9, оскільки (10,9>1,883). Оцінка параметра є статистично значущою при вірогідності 0,9, оскільки (6,44>1,883).

Довірчі інтервали для параметрів регресії при вірогідності 90 % мають вигляд:

; (15) . (16)

При вірогідності 95 % довірчі інтервали для параметрів регресії матимуть вигляд:

; (17) . (18)

Довірчі інтервали (15)-(18) побудовані для ступенів свободи, оскільки модель побудована без параметра