2.3 Аналіз правил нечіткого умовного виводу при конструюванні нечітких моделей

В даний час в дослідженні нечітких множин (F-множин) більше уваги приділяють розробці правил нечіткого умовного логічного виводу (F-умовний наслідок), що має назву F-Conditional Rules Interference або скорочено СRI [8,12-17.70, 71]. Ця обставина зв’язана з тим, що в семантиці звичайної мови присутнє деяке число нечітких понять (F-понять), тому робимо логічні висновки, в яких умова і наслідок включають такі F-поняття. Практика показує, що формування правил для таких виводів може бути надзвичайно різноманітним. Але подібні виводи не можуть бути задовільно формульовані, базуючись на класичній булевій логіці, тобто для цієї цілі становиться необхідним використання багатозначних логічних систем. Розробка правил умовного логічного виводу охоплює, в основному, три види умовних пропозицій:

=ЯКЩО х А ТО у В

=ЯКЩО х А ТО у В

ІНАКШЕ С

=ЯКЩО х₁ А₁ і х₂ є А₂ і … х_n А_n ТО у В

Як зазначалось вище. Концептуальною основою формування правил умовного логічного виводу є правило відділення (modus=ponens), в якому говориться:

ЯКЩО істинно і істинно ТО істинно .

В свою чергу, методологічною основою такого формування є композиційне правило, запропоноване Л. Заде [1, 2]. Використовуючи це правило, він сформував деякі правила виводу, в яких логічні перед посилання і наслідок є умовними пропозиціями, що включають в себе F-концепцію. В подальшому Е. Мамдані [15] запропонував своє правило виводу, яке, як і правило Заде, було розроблене для логічного представлення виду . Іншими словами, розглядався F-умовний вивід наступної форми:

Передумова 1: ЯКЩО х є А ТО у є В

Передумова 2: х є А’ (2.12)

Наслідок : у є В’

де А і А’ – F-концепція чи F-множина в універсумі U; В – F-концепція чи F-множина в універсумі V. Звідки В’ є наслідком, представленим як F-множина в V.

Для отримання логічного наслідку з використанням CRI, передумови 1 і 2 повинні бути відповідно приведені до бінарного F-відношення виду і унарному F-відношенню виду . Тут і визначаються атрибутами і y, які приймають значення із універсумів U і V відповідно. Тоді

; (2.13)

відповідно до правил виводу Заде-Мамдані визначаються наступним чином.

Максимільне правило умовного представлення

(2.14)

Арифметичне правило умовного представлення

(2.15)

Міні-функціональне правило умовного представлення

(2.16)

Тут , U і – декартові похідні, об’єднання і інверсія; – гранична сума.

Таким чином, відповідно до [1, 2, 15] логічний наслідок , який являється в (2.12), може бути отриманий наступним чином:

або

де – операція максимільного добутку F-множини.

На основі цих правил в [16] були запропоновані правила для умовного представлення виду :

(2.17)

; (2.18)

. (2.19)

Там же в [16] були запропоновані і правила для умовної пропозиції виду Р₃:

; (2.20)

; (2.21)

. (2.22)

Для аналізу ефективності правил (2.11) – (2.22) скористаємось деякими критеріями для F-умовного логічного виводу, запропонованими в [17]. Зміст даних критеріїв полягає в тому, що вони дають можливість перевірити, наскільки те чи інше правило нечіткого умовного виводу задовольняє людській інтуїції при наближених міркуваннях. Ці критерії мають наступний вигляд:

Критерій І.	Передумова 1: ЯКЩО х А ТО у В Передумова 2: х А
	Наслідок: у є В
Критерій ІІ-1.	Передумова 1: ЯКЩО х А ТО у В Передумова 2: х дуже А
	Наслідок: у є дуже В
Критерій ІІ-2.	Передумова 1: ЯКЩО х А ТО у В Передумова 2: х дуже А
	Наслідок: у є В
Критерій ІІІ.	Передумова 1: ЯКЩО х А ТО у В Передумова 2: х більш-менш А
	Наслідок: у є більш-менш В
Критерій ІV-1.	Передумова 1: ЯКЩО х А ТО у В Передумова 2: х не А
	Наслідок: у – невідомо
Критерій ІV-2.	Передумова 1: ЯКЩО х А ТО у В Передумова 2: х А
	Наслідок: у не В

В [17] було показано, що в правилах Заде–Мамдані відношення R_m, R₀ і R_c не завжди задовольняють цим критеріям. Так, для R_m були отримані наступні результати. При

і

знаходимо

.

Так як для функція приналежності приймає всі значення з інтервалу [0; 1], то

звідки , тоді цілком ймовірно, що , це показує, що критерій І на задовольняється.

При (дуже А) отримуємо

,

звідки

Таким чином,

,

тобто , значить, критерії ІІ-1 і ІІ-2 не задовольняються.

При критерій ІІІ не задоволь-няється, а критерій IV-1 задовольняється.

Для арифметичного правила R_а, коли

,

було отримано

а) при

,

або

,

тобто , або критерій І не задовольняється;

б) при (дуже А) було показано, що

,

проте , таким чином, , тобто критерій ІІ-1 не задовольняється або при , тобто критерій ІІ-2 не задовольняється.

в) при має місце

.

Таким чином, критерій ІІІ не задовольняється, при цьому критерій IV-1 задовольняється.

Для випадку міні-операційного правила R_c було встановлено, що критерії І та ІІ-2 задовольняються, а критерії ІІ-1 та ІІІ не задовольняються.

ЯКЩО ТО

це доводить, що критерії IV-1 та IV-2 не задовольняються. Іншими словами, логічні наслідки для перших трьох правил не завжди задовільним чином живлять нашу інтуїцію. Неважко замітити, що правила R₄ – R₉ є лише модифікацією правил виводу Заде-Мамдані стосовно до пропозицій Р₂ і Р₃. Тому вони, в свою чергу, не задовольняють критеріям I-IV.

В [17] було зроблено важливе узагальнення, яке дозволяє, в принципі, покращити перераховані вище правила F-умовного логічного виводу, тобто показано, що для визначеного Заде арифметичного правила умовної пропозиції виду

,

при переведенні на F-відношення , має місце наступне:

У цьому F-відношенні функція належності буде

що, очевидно, відповідає операції імплікації або Рlу-опе­раторові для багатозначної логіки L (Лукасевича), тобто

(2.23)

де , і – величини істини для логічних пропозицій , Р і Q відповідно.

Іншими словами, ці співвідношення можуть бути відображені як адаптація матеріальної імплікації в L-логічній системі до умовної пропозиції. З урахуванням цього факту було отримано наступний вираз:

(2.24)

У [17] висловлена думка, що операція імплікації або Рly-оператор у виразі (2.24) може належати будь-якій багатозначній логічній системі. Умовою для вибору логічної системи при розробці правил F-умовного логічного висновку є наступні очевидні міркування [17].

Нехай F-множини А з U і В з V задані у вигляді . Тоді, як вже було сказано вище, умовна логічна пропозиція Р₁ може бути переведена до F-відношення R(А₁(х), A₂(у)) адаптацією Рlу-оператора в багатозначній логічній системі, тобто

(2.25)

де значення визначається залежно від вибраної логічної системи.

Поклавши R(A₁(x))=А, можемо отримати логічний наслідок R(А₂(у)), використовуючи CRI для R(A₁(x)) і R(A₁(x), А₂(у)), звідки

(2.26)

Для того, щоб критерій I задовольнявся, потрібне виконання рівності

або

або

(2.27)

останнє має місце для довільних і або в термінах величин істини:

(2.28)

Сформулюємо основні дві умови, виконання яких потрібне для формалізації правил F-умовного логічного висновку :

1. Правила умовного логічного висновку CRI повинні відповідати очевидним критеріям I - IV;

2. Правила F-умовного логічного висновку CRI повинні задовольняти нерівності (2.28).

Формалізація правил нечіткого умовного висновку для умовної пропозиції виду P₁. Як було показано в розділі 1, логічний висновок для умовних пропозицій виду Р₁ має наступний вигляд:

Передумова 1: ЯКЩО х є А ТО у є В

П ередумова 2: х є А’

Наслідок: у є В’ (2.29)

де А, В і А’ є F-концепціями, наданими у вигляді F-множин в U, V і V відповідно, які повинні задовольняти критеріям I, II - І, III і IV - І.

Для такого висновку ЯКЩО передумова 2 переводиться в унарне F-відношення виду R(A₁(х))=А’ і передумова 1 переводиться в F-відношення R(A₁(х), А₂(у)), яке визначимо нижче TO наслідок R(A₁(y)) досягається з допомогою відповідного правила F-умовного логічного висновку CRI, тобто

(2.30)

Тут R(A₂(y)) рівнозначно В´ в (2.29).

Правило нечіткого умовного висновку 1

Теорема 2.1 Якщо F-множин A із U i B із V задані в традиційному вигляді:

(2.31)

і для багатозначної логічної системи 1 відношення

(2.32)

де

то критерії І–ІV задовільняються.

Доведення. Перш за все відмітимо, що мають місце наступні очевидні умови:

(2.33)

Припустимо, , тоді (2.30) буде мати вид

(2.34)

Тут для кожного u із U виділимо три підмножини U₁, U₂ і U₃ із U, які задовільняють наступним умовам:

; (2.35)

; (2.36)

; (2.37)

; (2.38)

Враховуючи (2.35) – (2.38), отримаємо

(2.39)

Але в силу умов (2.33) отримаємо

,

тоді вираз (2.39) набуде вигляду

Це доказує, що критерії І, ІІ-2, і ІІІ задовольняються.

Дальше припустимо, що тоді

(2.40)

але в силу умов (2.33) тоді невідоме, тобто доказано, що критерій IV-1 задовільняється.

Правило нечіткого умовного висновку 2

Теоремі 2.2. Якщо F-множини А із U і B із V такі самі, як в (2.31), і бінарні відношення для логічної багатозначної системи 2 визначається наступним методом:

(2.41)

де

То критерій I-IV задовольняється.

Доведення. Нехай тоді

(2.42)

Виділимо для дві підмножини і із , які відповідають умовам

(2.43)

; (2.44)

. (2.45)

Використовуючи (2.43) – (2.45), вираз (2.42) перетворимо до вигляду

(2.46)

але при цьому , (2.46)= .

Таким чином, доведено, що критерії I, II-1, і III для методу СRI типу 2 задовільняється.

Нехай дальше тоді

(2.47)

І з урахуванням (2.43) — (2.45) отримаємо

(2.48)

Проте тоді невідоме, тобто доказано, що критерій IV-I задовільняється

Правило нечіткого умовного висновку 3

Теорема 2.3. Якщо F-множини А із U і B із V такі самі, як в (2.31), і бінарні відношення для логічної багатозначної системи 3 будуть мати вигляд

(2.49)

де

то критерії I-IV задовольняються.

Доведення. Нехай (α>0), тоді

(2.50)

Виділимо для дві підмножини U₁ і U₂ із U, які задовільняють умовам (2.43)–(2.45), тоді

але тобто

звідки

Це доводить що критерії І, ІІ і ІІІ задовільняються.

Нехай , тоді

(2.52)

Виділимо підмножини U₁ і U₂ згідно (2.43) – (2.45), знайдемо

(2.53)

але так як то

(2.54а)

Але відповідно, невідомо, тобто доказано, що критерій IV-1 задовільняється.

Наочною ілюстрацією запропонованих правил висновку може слугувати такий приклад для логічної багатозначною системи 1.

Приклад 2.2. Нехай U=V=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10, A=мало= =1/0+0,8/1+0,6/2+0,4/3+0,2/4, B=середньо=0,2/2+0,4/3+0,8/4+1/5+0,8/6+ +0,4/7+ 0,2/8.

Тоді F-умовна пропозиція

ЯКЩО x є мало ТО у є середньо

приводиться до бінарного відношення виду

=

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0.2	0.4	0.8	1	0.8	0.4	0.2	0	0
1	0	0	0.2	0.4	1	0.2	1	0.4	0.2	0	0
2	0	0	0.2	0.4	0.4	0.4	0.4	0.4	0.2	0	0
3	0	0	0.2	1	0.6	0.6	0.6	1	0.2	0	0
4	0	0	1	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	1	0	0
5	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
6	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
7	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
8	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
9	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
10	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Нехай тоді

Коли отримаємо

Якщо то отримаємо

На звичайній мові отриманий вираз можемо проілюструвати наступним чином:

ЯКЩО х мало ТО у середнє

ЯКЩО х мало ТО у середнє

ЯКЩО х мало ТО у середнє

Деякі властивості R₁, R₂ i R₃. Опишемо тут деякі цікаві властивості F-відношення R₁, визначеного в (2.32), R₂, визначеного в (2.41) і R₃, визначеного в (2.49). Відмітимо, що в F-відношеннях R_m і R_a, визначених Л. А. Заде, ці співвідношення не мають місця. Відмітимо, що для R_a має місце тільки співвідношення 2.2, а для F-відношеннях R_с, визначеного Е. Мамдані, має місце тільки наступне.

Співвідношення 2.1. Нехай F-умовний вираз Р₁ задано у наступному вигляді:

Р₁₁=ЯКЩО х А ТО у В

Р₁₂=ЯКЩО у В ТО z С

Р₁₃=ЯКЩО х А ТО z C, (2.54б)

де А, В і С – F-концепції, задані F-множинами виду

Нехай і є F-відношеннями, які переводять вираз Р₁₁, Р₁₂ і Р₁₃, використо-вуючи правило (2.41) [відмітимо, що вищесказане в рівній степені можна віднести до R₃, визначеним в (2.32) і (2.49)]. Тоді при виконанні наступних умов:

(2.55)

виконується рівність

(2.56)

і F-умовні вирази

Р₁₁=ЯКЩО х А ТО у В

Р₁₂=ЯКЩО у В ТО z С

Р₁₃=ЯКЩО х А ТО z C.

Доведення. Із (2.56) маємо:

Нехай , тоді

Із (2.55) випливає нерівність , це означає, що і нерівність виконується. Звідси

показують справедливість рівності (2.56). Абсолютно аналогічно доказуються справедливість відношення 2.1 для логічних систем 1 і 3.

Співвідношення 2.2. Для F-умовних пропозицій:

і його протилежної пропозиції

не не .

Нехай і – F-відношення, яке переводять і , використовуючи (2.41) відповідно. Тоді виконується наступна рівність:

, (2.58)

де – зворотне відношення до . Рівність (2.58) може бути представленою в символьному виді:

ЯКЩО А ТО у В

ЯКЩО у не В ТО х не А .

Важливо відмітити, що Співвідношення 2.2 в логіках 1-3 не має місця.

Доведення. Відношення

в той же час

Що і являється доказом справедливості рівності (2.58).

Далі потрібно роздивитись деякі питання, зв’язані з формулюванням правил F-умовного логічного виводу для умовного прикладу виду .

Формулювання правил нечіткого умовного виводу для умовного прикладу виду . Як було показано вище, однією з розповсюджених форм умовного прикладу є наступна:

ЯКЩО х А ТО у В ІНАКШЕ у С

Для такої форми умовного прикладу може мати місце логічне правило виводу

Представимо що, , тоді

(2.59)

Для задовільнення критерію I необхідно, щоб , чи має місце наступна рівність:

(2.60)

Іншими словами, для повинна виконуватись нерівність

(2.61)

Абсолютно очевидно, що

ЯКЩО A U TO B V і С V.

Особливий інтерес представляє логічна посилка С, яка в загальному випадку не відома, або повинна бути рівна тобто задовольняє критерій IV.

Розглянемо випадок, коли В, тобто має місце наступна форма F-умовного логічного висновку:

Передумова 1: ЯКЩО х А ТО у В ІНАКШЕ у не В.

Передумова 2: х

Наслідок: у

Виходячи з цієї форми F-умовного логічного висновку, покажемо формалізацію деяких правил для пропозиції виду

Правило нечіткого виводу 4

Теорема 2.4. Якщо F-множини А із U і В із V знадяться так ж, як в (2.31), і бінарне співвідношення для S-логічної багатозначної системи має вид

(2.62)

де

=

=

то критерії I-IV задовільняються.

Доведення. Нехай , тоді

(2.63)

Розглянемо дві множини і , при цьому , , а також Ø. Тоді при при

Отримаємо

тобто критерії I, II, і III задовольняються.

Нехай тоді

Таким чином, критерій IV-2 також задовольняється.

Правило нечіткого умовного виводу 5

Теорема 2.5. Якщо F-множини А з U і В з V визначаються так само, як в (2.31), і бінарне відношення в логічній багатозначній системі 1 має вигляд

(2.64)

де

то критерії I - IV задовольняються.

Доведення. Нехай тоді

(2.65)

Для знайдуться такі і . При цьому

Ø,

(2.66)

Тоді

(2.67)

але так як і , то

Це доводить, що при і критерії I, II-2 i III задовільняються.

Нехай тоді

(2.68)

Враховуючи умови (2.66), приводимо (2.68) до виду

(2.69)

але так як і тому

Таким чином, доведено, що критерій IV-2 задовільняється.

Правило нечіткого умовного виводу 6

Теорема 2.6. Якщо F-множини А з U і В з V визначаються так само, як в (2.31), і бінарне відношення в логічній багатозначній системі 2 має вид

(2.70)

де

(2.71)

то і критерії I-IV задовольняються.

Доведення. Нехай ,тоді

(2.72)

При умовах (2.66) дальше отримуємо

(2.73)

Але і , звідси

Що задовольняють критеріям I, II-I і III

Нехай ,тоді

(2.74)

З врахуванням (2.66) отримаємо

(2.75)

Але і , отже

Доведено що критерій IV-2 задовільняються.

Правило нечіткого умовного виводу 7

Теорема 2.7. Якщо F-множина А із U і B із V визначаються так як в (2.31), і бінарне відношення R₃₃(A₁(x),A₂(y)) в логічній багатозначній системі 3 має вид

(2.76)

(2.77)

то і критерій I-IV задовольняються,

Доведення. Нехай (α>0) ,тоді

(2.78)

З врахуванням (2.66) останній вираз талишем так

(2.79)

Але і , звідси

це доказує що критерій I,II-I і III задовільняється

Застосовується співвідношення 2.1 (2.54б), то із двох посилок і слідує:

ЯКЩО

ЯКЩО

ЯКЩО

На мові бінарних відношень цей вираз має вид

Тоді

де

Таким чином, правило F-умовного логічного висновку має вигляд

тобто приводиться до стандартного виду і критерії I-IV задовільняються.

Наслідок. Вираз , тобто , тоді приводиться до рівняння виду

Іншими словами, має місце умовний вираз:

ЯКЩО x А ТО y С ІНАКШЕ y С, тобто випадає логічний наслідок B і суть правила вводу губиться.

Формалізація правил нечіткого умовного виводу для умовного виразу P₃. Розглянемо наступну розповсюджену формулу умовного виразу

тобто в даному випадку бінарне відношення виду буде представлено у формі

Припустимо, що тоді

Для задоволення критерію І необхідне виконання наступного рівняння:

(2.81)

яке повинне задовольнятися для випадкових . В свою чергу таке рівняння призводить до задовільнення наступної нерівності:

, (2.82)

або в розвернутому виді

. (2.83)

Для такої форми умовного виразу має місце наступний вид F-умовного логічного виводу:

Передумова 1:

Передумова 2:

Наслідок:

Дослідження властивостей правил F-умовного логічного виводу для умовних виразів виду P₃. Логічна посилка виду в умовному виразі виду Р₃ інтересна з точки зору тих умов, при яких мають місце правила F-умовного логічного виводу для такого виразу. Для цього зв’язку дамо наступне.

Теорема 2.8. Якщо – суть логічної передумови, і якщо має місце наступний логічний вираз:

і при цьому (пусте), ТО логічний висновок невідомий.

Доведення. Із умови слідує, що . Розглянемо дальше матрицю бінарного відношення , відмітивши, що за визначенням

; .

Очевидно, що матриця має розмірність , де – потужність універсуму U, а k – потужність універсуму V, але так як , то для справедлива нерівність , при цьому значення ply-оператора в любій логічній системі для і постійне і рівне одиниці, тобто . Іншими словами, всі елементи матриці бінарного відношення рівні між собою і одиничні. Тоді якщо друга логічна передумова відрізняється від нуля, тобто або , то так як , справедливо

, то

.

Іншими словами, логічний висновок невідомий.

Наслідок. Щоб для логічного виразу виду Р₃ мало місце логічний наслідок , необхідна зв’язність підмножин , тобто .

Практика застосування правил F-умовного виводу для умовного виразу виду Р₃ показує, що найбільш ефективним являється використання комбінованого правила вивода виду

. (2.84)

Проте при цьому необхідно мати на увазі деякі особливості побудови матриць бінарного відношення, оскільки за певних умов можливе порушення безперервності функції приналежності (ФП) логічного слідства , навіть якщо ФП логічних передумов безперервні. В зв’язку з цим дамо наступне.

Пропозиція 2.1. Якщо в умовній пропозиції вигляду ІНАКШЕ не В

нечіткі множини не рівні між собою, тобто якщо А_i A_j (ij), ФП логічного наслідку (нечіткої множини В) має точку розриву.

Доведення. Оскільки для справедливо μ_Ai(u)=μ_Ai(u) (i≠j), то оскільки і у разі бінарного відношення

(за визначенням нормальності), то вектор-стовпець матриці R(A₁(x), A₂(y)) звідки, очевидно, в R(A₂(y))=B^’=R(A₁(x)) R(A₁(x), A₂(y)) вираженому ФП µ_B(v), , тобто має місце точка розриву, оскільки V виконується

d( ‘)=( ‘) .

Зауваження. Матриця бінарного відношення представлена в наступному вигляді: R(A₁(x), А₂(y))= = . Тут µ_B(­) – оцінка ФП в дискретних точках , ‘ V; m – потужність універсуму V; – одиниця дискретизації універсальної множини V. Дослідження, приведені вище, показують, як при умовній пропозиції виду Р₃ бінарне відношення слід будувати, виходячи з тих міркувань, що з погляду попереднього аналізу конкретного технологічного процесу логічні передумови (атрибути) х_i мають різну «цінність» або «вагу», тобто не однаковою мірою повинні бути включені в умовну пропозицію. Іншими словами, доцільно перед побудовою матриці бінарного відношення «вирішити» задачу групового вибору, враховуючи при цьому перевагу тієї або іншої логічної передумови (атрибуту). Що ж до трудностей обчислення запропонованих методів нечіткого логічного висновку, то вона залежить тільки від складності конкретного об’єкту, що описується нечітко.